TL; DR: Están relacionados pero no son exactamente lo mismo.
Entonces, una función de onda (o su cuadrado) es la función de distribución de probabilidad de donde encontrará un electrón (o lo que sea) si realizó experimentos repetidos con la misma condición inicial. Entonces, por ejemplo, si una partícula se localiza en un potencial (armónico), tiene una función de onda
[matemáticas] \ psi (x) \ propto \ exp (- k ^ 2 x ^ 2) [/ matemáticas]
La longitud de onda está relacionada con el impulso de la partícula a través de la constante de Planck
[matemáticas] \ lambda = 2 \ pi \ hbar / p [/ matemáticas]
La función de onda anterior tiene una extensión de impulso [*]
[matemáticas] \ tilde {\ psi} (p) \ sim \ exp (- \ hbar ^ 2 p ^ 2 / k ^ 2) [/ matemáticas]
Entonces esta partícula tiene una extensión de longitudes de onda. Observe que esta función de onda de impulso es simétrica con respecto al origen. Eso significa que tiene tanto impulso hacia adelante como hacia atrás. También tiene soporte en el origen (p = 0), esto significa que hay modos con longitudes de onda arbitrariamente largas. Entonces, esto realmente no tiene un conjunto bien definido de longitudes de onda, solo sabemos que las longitudes de onda son
[matemáticas] | \ lambda | > k ^ {- 1} [/ matemáticas]
lo que significa que no tiene longitudes de onda arbitrariamente cortas.
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Si aproximamos una partícula que se mueve en un momento constante, esta partícula se conoce como “onda plana” y tiene una función de onda
[matemáticas] \ psi (x) \! \ propto \! \ exp (i p_0 x / \ hbar) = \! \ cos (p_0 x / \ hbar) + i \ sin (p_0 x / \ hbar) [/ math ]
Cuando cuadramos esto (multiplicándolo por el conjugado complejo, esta es una función constante. Entonces, una partícula con un momento definido y, por lo tanto, una longitud de onda definida se extiende por todas partes.
Lo creas o no, esta aproximación esférica de vaca es lo suficientemente buena en muchas situaciones. Sin embargo, a veces hay cuando quieres una partícula localizada y tener algo de impulso, en este caso puedes combinar las dos multiplicándolas juntas
[matemáticas] \ psi (x) \ propto \ exp (i p_0x / \ hbar) \ exp (- k ^ 2 x ^ 2) [/ matemáticas].
Esta función de onda tiene una extensión de momentos
[matemáticas] \ tilde {\ psi} (p) \ sim \ exp (- \ hbar ^ 2 (p- p_0) ^ 2 / k ^ 2) [/ matemáticas]
Ahora, cuando
[matemáticas] p_0 \ gg k / \ hbar [/ matemáticas]
esta partícula tiene una pequeña extensión de momentos centrados descritos por
[matemáticas] p = p_0 \ pm k / \ hbar [/ matemáticas]
Puede usar la relación de Planck anterior para relacionar esto con la longitud de onda (aunque debe tener cuidado con el cálculo de las funciones de distribución de probabilidad) y encontrará algo como
[matemáticas] \ lambda \ sim 2 \ pi \ hbar / p_0 \ pm 2 \ pi k / p_0 ^ 2 [/ matemáticas].
Estos son dos conceptos diferentes, pero estrechamente relacionados. La longitud de onda del valor central está relacionada con qué tan rápido se mueve una partícula y es una fase que varía espacialmente frente a la función de onda, y el resto de la función de onda está relacionada con la extensión de las longitudes de onda alrededor de esa longitud de onda de valor central.
[*] Estoy dejando de lado todo el análisis de Fourier que te da estos resultados. Si sabes lo que es, es fácil de hacer, si no lo sabes, solo toma mi palabra de que estas relaciones son correctas.
