La fórmula general para el movimiento geodésico es
[matemáticas] \ frac {d ^ 2 x ^ \ mu} {d \ tau ^ 2} = \ Gamma ^ \ mu {} _ {\ nu \ sigma} \ frac {dx ^ \ nu} {d \ tau} \ frac {dx ^ \ sigma} {d \ tau} = 0 [/ math]
donde [math] x ^ \ mu [/ math] son las coordenadas espacio-temporales del objeto, [math] \ frac {d} {d \ tau} [/ math] puede considerarse como la derivada con respecto a la la coordenada del tiempo y [math] \ Gamma ^ \ mu {} _ {\ nu \ sigma} [/ math] son los símbolos de Christoffel de geometría diferencial; consulte aquí para obtener más detalles.
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Para un objeto esféricamente simétrico, puede calcular los símbolos de Christoffel con bastante facilidad e incluso resolver las órbitas o simplemente buscarlas aquí.
Para obtener la modificación del potencial newtoniano, puede establecer [matemática] \ mu [/ matemática] = coordenada espacial y [matemática] \ nu, \ tau [/ matemática] en la coordenada de tiempo y obtener:
[matemáticas] \ Gamma ^ r {} _ {tt} = \ dfrac {r_s} {r ^ 2} \ dfrac {1} {1 – r_s / r} [/ math]
donde [math] r_s [/ math] es el radio de Schwarzschild del objeto:
[matemáticas] r_s = \ dfrac {GM} {c ^ 2}. [/ matemáticas]
Esto proporciona la aceleración radial de una partícula en reposo.
[matemáticas] \ dfrac {d ^ 2 r} {dt ^ 2} = \ dfrac {r_sc ^ 2} {r ^ 2} \ dfrac {1} {1 – r_s / r}. [/ math]
Debe tener cuidado al simplificar esto a un simple cambio en el potencial gravitacional. La razón es que tan pronto como comience a usar las correcciones que son del orden de
[matemáticas] \ Delta = \ dfrac {r_s} {r} [/ matemáticas]
está obligado a obtener todas las correcciones que sean del mismo tamaño. Si está en órbita alrededor de este objeto, utilizar este potencial es incorrecto por múltiples razones. La primera es que hay una contracción de la longitud / dilatación del tiempo, esta es una corrección que es del orden de:
[matemáticas] \ Delta ‘= v ^ 2 / c ^ 2 [/ matemáticas]
pero en órbita
[matemáticas] v ^ 2 = GM / r = c ^ 2 r_s / r [/ matemáticas]
so [math] \ Delta ‘= \ mathcal {O} (\ Delta) [/ math], por lo que no puede usar ese potencial sin tener en cuenta la contracción de la longitud.
La energía cinética también gravita, aunque esto puede ser lo mismo que la contracción de la longitud: es muy confuso separar la expresión completa en términos individuales y hablar sobre cada término por separado.
Hacer una aproximación totalmente relativista es muy complicado. Por ejemplo, no fue hasta 2008 que alguien hizo un cálculo adecuado de cómo usar la interferometría atómica para medir las correcciones relativistas generales a la gravedad a pesar del hecho de que los experimentos habían estado ocurriendo durante mucho tiempo.
