Una supersimetría es una simetría entre Fermions y Bosons, aparece en una teoría relativista cuando tiene al menos una corriente conservada spin 3/2, a diferencia de una corriente de vector spin 1 normal, como la corriente eléctrica. Pero esto es muy abstracto, y hay una forma diferente más concreta de la materia condensada para comprender el fenómeno matemático, que fue originalmente descrito en 1976 por Parisi y Sourlas. Un buen libro de Junkers explica lo que digo a continuación, pero también es bueno revisar la no conmutatividad en la ruta integral, y el mapa explícito de Nicolai para el modelo dimensionalmente reducido d = 2 Wess Zumino que termina con 2d N = 2 supersimetría
Para comprender la idea, debe comenzar con la ruta integral de Feynman, y es la continuación del tiempo imaginario. Cada sistema cuántico tiene una versión de tiempo imaginario que, cuando el lagrangiano es real y bosónico, es una teoría estadística puramente clásica. Un ejemplo de esto es la red QCD, que es un sistema estadístico equivalente al tiempo imaginario QCD, pero un ejemplo más simple es el movimiento browniano, que es la continuación imaginaria en el tiempo de la mecánica cuántica de partículas.
Estas descripciones estadísticas de tiempo imaginario generalmente no contienen fermiones, pero también hay un truco para incluir fermiones, y este truco produce sistemas supersimétricos y ofrece algunas ideas profundas sobre el fenómeno que generalmente se omite en las presentaciones tradicionales.
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Hay dos formas de pensar en una caminata aleatoria: global y progresiva. El punto de vista global es lo que se hace en la integral de ruta: hay una probabilidad para cada trayectoria, que es la integral de la velocidad al cuadrado sobre la trayectoria. Cuando hace una discretización de tiempo sobre enteros con pasos de tamaño dt, la probabilidad de una ruta x (n) es
[matemáticas] exp (- \ sum_n {(x (n + 1) – x (n)) ^ 2 \ over dt ^ 2} dt [/ math]
Este es un punto de vista global, porque la probabilidad está sobre la trayectoria como un todo.
Pero esta no es la forma más eficiente de generar un movimiento browniano aleatorio. También puede generar una ruta browniana paso a paso, generando números aleatorios gaussianos [math] \ eta (n) [/ math] al principio, y luego usando una ecuación de diferencia para avanzar las x hacia adelante en el tiempo:
[matemáticas] x (n + 1) = x (n) + \ sqrt {dt} \ eta (n) [/ matemáticas]
Este segundo procedimiento produce una ruta seleccionada de acuerdo con la primera distribución de probabilidad, pero avanza en el tiempo, no necesita hacer Metropolis Monte-Carlo para generar la configuración (siempre que el límite final esté libre), puede simplemente generar el camino naturalmente usando números aleatorios gaussianos.
En una ruta integral, la versión continua de esto comienza con un eta continuo que es completamente independiente al azar en cada momento independiente:
[matemáticas] Dp = e ^ {- \ int {\ eta ^ 2 \ over 2} dt} D \ eta [/ matemáticas]
donde Dp significa que es una medida integral de ruta, y D \ eta en el otro lado es la medida eta uniforme (esta es una idea formal, pero la ecuación puede hacerse significativa rigurosamente), y luego cambiar las variables a x usando la ecuación
[matemáticas] {dx \ over dt} = \ eta [/ matemáticas]
En este caso, simplemente conecte [math] \ dot {x} [/ math] para [math] \ eta [/ math], y obtendrá la acción imaginaria / estadística-peso browniana ordinaria.
[matemáticas] Dp = e ^ {- \ int {\ dot {x} ^ 2 \ over 2} dt} Dx [/ matemáticas]
Ahora suponga que la caminata está sesgada, de modo que hay una inclinación diferente en diferentes puntos. Luego agrega el sesgo, y para que el sesgo funcione en dimensiones más altas, debe ser integrable, debe ser el gradiente de una F potencial (en una dimensión, todo es integrable).
[matemáticas] {dx \ over dt} + {\ partial F \ over \ partial x} = \ eta [/ math]
Entonces, la misma transformación ya no funciona, porque F varía con x, por lo que las diferentes rutas tienen diferentes pesos debido al cambio de las variables involucradas. Al transformar la distribución de probabilidad, obtienes un determinante adicional.
[matemáticas] Dp = e ^ {- \ int {(\ dot {x} + F ‘) ^ 2 \ over 2} dt} Det ({d \ over dt} + F’ ‘) Dx [/ math]
El determinante se puede escribir como una integral de Candlin (las variables de la hierba son la teoría correcta de los determinantes), utilizando un par de campos de hierba fermiónicos [matemáticas] \ theta (t) [/ matemáticas] y [matemáticas] \ bar {\ theta} ( t) [/ math], para que la cosa dentro del exponencial se convierta
[matemáticas] – \ int {(\ dot {x} + F ‘) ^ 2 \ over 2} + \ bar {\ theta} ({d \ over dt} + F’ ‘) \ theta dt [/ math]
Si expande el cuadrado, el término medio es una derivada perfecta, que puede eliminarse volviendo a escalar la distribución de probabilidad de límite / función de onda. Eso no es cierto independientemente de la convención, porque la derivada del tiempo no conmuta en productos dentro de la integral de ruta con F ‘, que es una función de x, y este fallo de conmutatividad es realmente lo que está dando lugar al determinante: el el término medio es solo una derivada perfecta si realiza una definición de diferencia centrada para la derivada de tiempo de x. Si define la derivada del tiempo como una diferencia directa, no hay necesidad de un determinante, pero el término central no desaparece, y al cambiar la dirección del tiempo se invierte el signo del término central. La formulación con el determinante está manifestando una simetría entre la evolución hacia adelante y hacia atrás de la ecuación estocástica.
El resultado es una acción con una supersimetría (en realidad, dos supersimetrías), es la mecánica cuántica supersimétrica. Si haces la transformación:
[matemáticas] x \ flecha derecha x + \ bar {\ theta} \ epsilon [/ matemáticas]
[matemáticas] \ theta \ rightarrow \ theta + \ epsilon (\ dot {x} + F ‘) [/ math]
La acción se mantiene igual hasta los términos límite, hasta la integración por partes.
Nicolai demostró que esto es cierto en las teorías generales, incluso en las relativistas: cuando tienes una supersimetría, el determinante de los fermiones es el determinante requerido para hacer que la evolución de los campos bosónicos sea una evolución estocástica que comienza con un ruido independiente. Los fermiones están surgiendo porque hay un cambio de variables de otras variables donde la evolución estadística es muy simple.
Esto significa que simular teorías supersimétricas en una computadora es, en principio, más fácil que simular teorías cuánticas ordinarias, ya que no necesita el algoritmo Metropolis, puede avanzar en el tiempo. Desafortunadamente, esto solo funciona cuando conoces explícitamente la transformación a una ecuación estocástica, cuando conoces el mapa explícito de Nicolai. Este mapa solo se conoce explícitamente por un puñado de ejemplos, que afortunadamente incluye el ejemplo de mecánica cuántica anterior y un modelo Wess Zumino de dos dimensiones reducido. Esto se puede usar para simular la teoría M, porque la teoría M tiene la formulación Matrix, que es
mecánica cuántica supersimétrica que puede escribirse como una ecuación estocástica hacia adelante.
Sin embargo, el principio general explica gran parte de la magia de la supersimetría: el estado fundamental tiene energía exactamente cero, porque la distribución de Boltzmann es la distribución estacionaria de la ecuación estocástica, y es constante en el tiempo (la tasa de desintegración en el tiempo es el análogo de la energía del estado fundamental en tiempo imaginario). Traduciendo a la teoría del campo cuántico, esto significa que los bucles de energía de vacío fermiónico y bosónico se cancelan.
A veces hay configuraciones que son estadísticamente inaccesibles, como la dinámica estocástica de una membrana atrapada en un pozo de potencial loco, diferente
las posiciones de la membrana no pueden fluctuar entre sí, porque la membrana es grande y define una superselección estadística: la fluctuación estadística no puede mover la posición de la membrana sin conspiración. Pero no tiene que haber una simetría: la membrana podría estar igualmente feliz de sentarse donde la coloque por primera vez. Esto significa que hay módulos de espacio de vacío sin simetría, otra propiedad de los sistemas supersimétricos.
Estas son las propiedades mágicas de la supersimetría que las hacen interesantes para estudiar. La clasificación de las teorías supersimétricas se realiza algebraicamente, sin tener en cuenta el mapa de Nicolai, que nunca se ha formulado de una manera que sea útil para la mayoría de las teorías supersimétricas conocidas. Puede que ni siquiera sea posible escribirlo explícitamente para el modelo Wess Zumino en 4d, por ejemplo. Pero esto es extraño, parece que debería ser posible, pero otros dicen que no, pero los teoremas no son persuasivos para mí, ya que muestran cierta falta de imaginación con respecto al mapa.
