¿Por qué la energía cinética de un objeto depende del cuadrado de su velocidad en lugar de ser directamente proporcional a su velocidad?

Lo importante de lo que llamamos “energía cinética” de un objeto es que si se agrega a otra cantidad que llamamos “energía potencial”, siempre se obtiene la misma cantidad total, que simplemente llamamos energía . Esto es cierto siempre que la fuerza que actúa sobre el objeto dependa solo de su posición . Llamamos a estas fuerzas “conservadoras”, precisamente porque conservan la cantidad total de energía.

Puede mostrar esto, a partir de las leyes de movimiento de Newton, si define la energía cinética como [matemática] \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemática], donde [matemática] m [/ matemática] es la masa del objeto y [math] v [/ math] es su velocidad. No entraré en los detalles matemáticos de este resultado, que puede encontrar en cualquier libro de texto de física elemental como el “teorema de la energía del trabajo”.

Déjame darte un ejemplo concreto de lo que saldría mal si hicieras que la energía cinética fuera proporcional a [math] mv [/ math]. Los científicos en el siglo XVII y principios del siglo XVIII todavía estaban confundidos sobre este punto, y algunos de ellos llegaron a conclusiones erróneas al considerar que [math] mv [/ math] era una expresión válida de lo que ahora llamaríamos la energía cinética.

Suponga que una masa [matemática] m = 1 ~ \ hbox {kg} [/ matemática] comienza desde el reposo y cae desde una altura de [matemática] h = 1 ~ \ hbox {m} ~, [/ matemática] bajo la acción de la aceleración gravitacional constante [matemáticas] g = 9.8 ~ \ hbox {m / s} ^ 2 ~. [/ matemáticas] Las fórmulas para el movimiento uniformemente acelerado nos dicen que al final de su caída la masa tendrá velocidad
[matemáticas] v = \ sqrt {2 gh} = 4.4 ~ \ hbox {m / s} ~. [/matemáticas]

Si tomaste la energía cinética como [math] mv [/ math] y creías que esta energía no se crea ni se destruye, sino que solo se transforma en alguna otra forma de energía, entonces puedes intentar dejar que el objeto caiga en cuatro pasos sucesivos , cada 1 metro de altura, transfiriendo toda su energía cinética al escalón sólido al final de cada caída de 1 metro (vea la ilustración). Después de las cuatro gotas, el objeto habría transferido una energía.
[matemáticas] 4 mv = 17.7 ~ \ hbox {kg m / s} [/ matemáticas]
a la estructura sólida que soporta los pasos.

Pero la cantidad de energía necesaria para elevar la masa 4 metros debe ser igual a la energía cinética que gana al caer 4 metros, comenzando desde el reposo. Según nuestra fórmula, esto sería
[matemática] m \ sqrt {2 g \ veces 4 h} = 2 m \ sqrt {2 gh} = 8.9 ~ \ hbox {kg m / s} ~. [/ matemática]

Esta es solo la mitad de la energía que el peso transfirió a los escalones al bajar cuatro escalones de 1 metro. Por lo tanto, puede imaginar usar la mitad de esa energía para elevar la masa a su altura original de 4 m, y aún le quedan 8.9 kg m / s de energía. Ahora podría repetir el proceso una y otra vez y utilizar la energía obtenida con cada ciclo para hacer algo útil, como moler harina o elevar agua.

Si subdividiera la caída en más de cuatro pasos, la ganancia neta en energía por ciclo sería aún mayor. Para los pasos [matemática] N [/ matemática] sería
[math] (N – \ sqrt {N}) m \ sqrt {2 gh} = (N – \ sqrt {N}) \ times 4.4 ~ \ hbox {kg m / s} ~. [/ math]

No he dicho cómo usarías la energía transferida a los escalones para elevar la masa a su altura original. El punto es solo que esperarías poder hacerlo, si la energía fuera realmente conservada. Una posibilidad sería tener los escalones montados en una rueda grande. Cuando la masa alcanza un paso, daría un impulso al giro de la rueda. El giro de la rueda podría ser lo que eleva la masa a su altura original, al final del ciclo.

Por lo tanto, esperaría poder construir una “máquina de movimiento perpetuo”, impulsada solo por la gravedad. La gente ha estado tratando de construir tal cosa durante muchos siglos. Su fracaso repetido ha llevado a los científicos a creer que las leyes de la física lo prohíben.

Si sigue el argumento descrito anteriormente, pero ahora usa la expresión correcta para la energía cinética, [matemática] \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemática], encontrará que la cantidad de energía que pesa Las transferencias a los escalones son exactamente iguales a la cantidad de energía necesaria para elevar la masa a su altura original de 4 metros. No queda energía para hacer ningún trabajo, y la fricción haría que la máquina se detenga por completo. Esto concuerda con nuestra convicción, fundada en una larga experiencia, de que el movimiento perpetuo impulsado por la gravedad es imposible.

Como mencioné anteriormente, en el siglo XVII y principios del siglo XVIII, algunos científicos destacados tenían estos argumentos sobre el movimiento perpetuo y la conservación de la vis viva (en latín, “fuerza viva”, que es lo que se llamaba energía en ese entonces). El siguiente artículo analiza un curioso episodio histórico asociado con estos debates:

[1301.3097] La ​​carrera mecánica del concejal Orffyreus, hombre de confianza

Esta etapa particular, donde ya aprendió las ecuaciones, pero necesita refinar sus intuiciones pre-rigurosas, se llama etapa post-rigurosa, y es la tercera y última etapa (aunque a menudo ignorada) para cada cosa que aprender en física Le ayuda a comprender verdadera y profundamente y, por lo tanto, a obtener las matemáticas correctas rápidamente, por lo que es muy útil para la resolución creativa de problemas. Feynman era un gran creyente y practicante de esto. Toma un poco de tiempo extra, pero es muy gratificante.

Para este tema en particular, es útil crear un ejemplo en el que podamos ver 1) cómo se conserva siempre la energía desde el punto de vista de cada marco de referencia (invariancia galileana). Pero dado que la cantidad de energía cinética siempre es relativa al movimiento del observador (que no es muy útil a este respecto) también es útil crear un evento en el que 2) transfiramos energía cinética en energía potencial , para un acuerdo unánime sobre su energía almacenada, independientemente del movimiento relativo del observador. Como el calor, por ejemplo (aunque eso también es solo energía cinética microscópica, local y caótica, por supuesto).

Este es un ejemplo que una vez leí de Ron Maimon en alguna parte. Imagine una bola de arcilla blanda y pegajosa que se ve volando hacia una pared rígida sin movimiento a 50 m / s, como se ve desde el marco de referencia A , y cuando la bola golpea esa pared, toda su energía cinética se transfiere al calor local. energía (en realidad, una parte de la pared algo elástica y la Tierra debajo de ella también moverá la cantidad neta más pequeña, que también se transferirá principalmente a una energía térmica más dispersa, pero imagina que todo se almacena localmente en la bola de arcilla blanda, con una pared muy rígida y tierra debajo).

Cuando imaginamos que dos de estas bolas a 50 m / s golpean la pared, ahora hemos almacenado el doble de la energía cinética inicial en energía térmica dentro de esas dos bolas que están pegadas a la pared. Si nuestras intuiciones aún pudieran decir que esa cantidad particular de energía térmica debería poder impulsar una bola a 100 m / s (la energía cinética es linealmente proporcional a la velocidad), lo siguiente le mostrará lo contrario.

Si estas mismas bolas se vieran volando a los mismos 50 m / s uno hacia el otro y se golpeen, ambas bolas también se detendrían. El resultado neto sería exactamente el mismo que con la pared: la energía cinética de dos bolas voladoras se transfiere a la misma energía térmica local.

Ahora, echemos un vistazo a esta situación particular desde el punto de vista de un tren que pasa a 50 m / s (marco de referencia B ). Ahora se ve que una bola no tiene energía cinética: sigue la velocidad del tren. Se ve que la otra bola entra a 100 m / s (la velocidad doble a la que la intuición podría decir que su energía cinética debería ser proporcional a la energía calorífica doble resultante de la colisión que sigue ahora).

Sin embargo, el resultado es que la energía de la velocidad doble de una bola , después de la colisión, se transfiere a la energía térmica doble de la colisión acordada por unanimidad, más la energía cinética de dos bolas , ambas ahora relativamente en movimiento a 50 m / s, con respecto al tren en movimiento.

Entonces, el doble de la velocidad de una bola, resulta en 4 veces la energía total de una vez la velocidad de una bola.

Si se observó que el calor era cero desde la perspectiva del tren, con las bolas igualmente pegadas a 50 m / s, o si había el mismo calor, pero también se observó que las bolas no tenían energía cinética desde la perspectiva del tren (que es ambos ridículos), de hecho sería el caso de que la energía cinética es proporcional a la velocidad.

Darle la vuelta a tiempo también es perspicaz: dos bolas que vienen de lado a lado a 50 m / s necesitan la energía extra para un empuje de separación entre sí, para detener por completo una bola que se mueve y la otra bola que se mueve a 100 m / s. s, que coincide con la energía cinética total relativa inicial de las dos bolas juntas. La bola que acelera entonces roba toda la energía de la otra bola (cuando se ve desde la perspectiva del tren), y toda la energía del empuje de separación.

Cuando no se ve desde un tren en movimiento, no había energía cinética inicial, por lo que toda la energía cinética después del empuje de separación es de esa energía de empuje.

Hay dos consecuencias de aceptar el postulado de la relatividad especial de que la velocidad de la luz es invariante. El primero de ellos llama toda la atención, es decir, que una partícula masiva nunca puede alcanzar una velocidad de la luz en relación con cualquier otra partícula masiva.

Pero es el segundo efecto menos apreciado lo que explica el cuadrado: una partícula masiva nunca puede alcanzar ninguna velocidad en relación con la luz misma. En cambio, la velocidad a la que pasa el tiempo cambia, y estos cambios se manifiestan como aceleración en la cuadrática inversa de la energía.

Esta es una idea difícil de absorber. Einstein tardó casi un año después de considerar por primera vez los fundamentos de su teoría para darse cuenta de que desvincular la simultaneidad de un evento absoluto era la clave para hacer que este rompecabezas encajara. Parece haber pensado a través de la lógica involucrada, lo mejor que puedo decir, usando ejemplos clásicos, pero nunca parecía particularmente preocupado por redefinir el pensamiento tradicional no relativista más allá del punto de asegurar que su teoría se redujera a la forma newtoniana.

El resultado final es que la aceleración siempre ocurre al nivel de lo instantáneo, y el resultado es el cuadrático. Mis palabras, y no las de Einstein, por supuesto, es el efecto de campo que define la fuerza de aceleración, la velocidad que pasa el tiempo para una partícula en relación con los puntos que la rodean. Aquí yace el “impulso” hacia la creación de impulso, mientras que el paso continuo del tiempo a tasas ligeramente diferentes lo sostiene.

De manera algo más precisa, cada instancia de aceleración de un objeto resulta no solo en un cambio en la velocidad relativa que el tiempo pasa por él, sino también en una redefinición del campo que lo rodea y lo conecta con todos los demás objetos de tal manera que la simultaneidad de eventos se realinee. Esa es la fuerza que he llegado a entender.

Encuentro esto reconfortante porque proporciona una sensación de absoluto a la relatividad en el sentido de que, si bien dos observadores sin relojes no pueden saber cuál se mueve en comparación con el otro, los mismos observadores con relojes infinitamente precisos a su disposición no parecen estar tan gravados .

Hay muchas formas de justificar el cuadrado para la velocidad. Lo más fundamental tiene que ser observaciones experimentales. Considere, por ejemplo, la dispersión elástica. Puedes observar la energía cinética que se conserva.

Otra forma es observar la energía cinética caso por caso en función de algún modelo de realidad subyacente. Comencemos, por ejemplo, con la mecánica newtoniana más la gravedad clásica. Es fácil demostrar que algunas cantidades se conservan. Una de estas cantidades es la suma de la energía potencial y la energía cinética, donde la energía cinética se define como suele ser.

El concepto de energía cinética y conservación de energía se desarrolló inicialmente para objetos en movimiento definiéndolo como [matemáticas] mv ^ 2 [/ matemáticas]. (Sí, no la mitad). Vamos a fingir que la energía y la conservación de la energía se utilizaron inicialmente en otros lugares, por ejemplo en termodinámica o electromagnetismo. En tal situación, se podría especular que los objetos en movimiento también pueden tener energía. Es probable que también se especule que esta energía, medida en julios (kg m ^ 2 / s ^ 2), de alguna manera depende de la masa (kg) del objeto y la velocidad (m / s) …

Estoy seguro de que la mayoría de ustedes ven a dónde voy con esto, pero permítanme agregar un enlace al análisis dimensional.

http://en.wikipedia.org/wiki/Dim …

La mejor manera de explicar esto es recordar la historia de cómo surgió la ley. El científico (el nombre se me escapa) postuló que la masa y la velocidad serían proporcionales a su energía cinética. Al trabajar la solución desde dos direcciones, descubrió que también era cierto al calcular la Fuerza y ​​el desplazamiento total. Por lo tanto, para detenerse por un momento, un vehículo que viaja a 40 mph requeriría 4 veces la fuerza de frenado que un automóvil que se mueve a 20 millas por hora. Esencialmente, cuanto más rápido va un objeto, o cuanto más pesado es un objeto, más difícil es reducir la velocidad. Sentido Común ¿verdad? Siembra al ejecutar el experimento, ya que no tenía un automóvil, usó objetos de igual masa y los arrojó de distancias dadas a la arcilla. Calculó que la profundidad que viajaba la masa era 1/2 al cuadrado proporcional a la velocidad y la masa del objeto. Experimentos posteriores demostraron esto a la inversa. La fuerza de un objeto multiplicada por su desplazamiento igualó la constante (1/2) veces la masa y la velocidad al cuadrado. Entonces calcularon esta fórmula en ambas direcciones con las mismas constantes. Casualmente, otra constante se encuentra a través de la física en la forma de la ley cuadrada INVERSA. La exposición a la radiación gamma puede limitarse duplicando la distancia desde la fuente, que a su vez reduce la tasa de absorción.

Si desea obtener REALMENTE profundidad, imagine una cuadrícula frente al objeto que se aleja de él en forma cónica. A medida que aumenta la velocidad, el segmento de la cuadrícula aumenta, duplicando así el área de superficie total de la cuadrícula. Al alcanzar el objetivo, la velocidad a la que viaja es directamente proporcional al doble del área de superficie de la cuadrícula o al doble de la velocidad.

Espero que esto ayude algo. Son las 230 de la mañana y no tengo por qué ayudar a nadie en este momento.

No es solo por el teorema del trabajo y la energía, que generalmente se usa para explicar por qué KE es proporcional a v cuadrado en los libros. El Sr. Ron Maimon da una muy buena explicación, usando la transformación de gallilan y la conservación de energía aquí (Página en stackexchange.com). Léelo detenidamente.

Antes de intentar responder a esta pregunta, quiero agradecerle por su observación. Un cuadrado de velocidad significaría que está involucrado un producto de velocidades. Para bastar la explicación matemática, solo necesitamos localizar ese producto.

La energía es la capacidad de hacer trabajo.
[matemáticas] E = F. d [/ matemáticas]
Llamemos a esta ecuación 1.
La energía cinética es la capacidad de un cuerpo en movimiento para hacer el trabajo.
[matemáticas] E = 1/2. m. v ^ 2 [/ matemáticas]
Esta es nuestra ecuación 2.
Los cuerpos móviles se rigen por las leyes de Newton, la segunda de las cuales explica qué es la fuerza.
[matemáticas] F = m. a [/ matemáticas]
conectamos eso de nuevo a la ecuación número 1, obtenemos
[matemáticas] E = loco [/ matemáticas]
Ahora el desplazamiento se define como la distancia en una dirección particular,
[matemáticas] d = vt [/ matemáticas]
conecte esto a la ecuación 1 también y tendremos
[matemáticas] E = mavt [/ matemáticas]
La aceleración es la tasa de cambio de velocidad y nos damos cuenta de que el producto de av en la ecuación se reduce al producto de velocidades, que es lo que causa el término cuadrado. Y así llegamos a la ecuación 2.

Se puede adoptar un enfoque similar para el movimiento de rotación y eso también le daría un término de producto.

En mecánica cuántica, la energía cinética depende del cuadrado del momento y de ahí proviene el término del producto. En relatividad, la energía cinética es integral de v con respecto al momento y de ahí proviene el término del producto.

La invarianza galileana trata esto en un nivel más fundamental que las leyes de Newton y esa explicación se puede encontrar aquí:
¿Por qué la energía cinética aumenta de forma cuadrática, no lineal, con la velocidad?

Buena pregunta. Es equivalente a la pregunta de por qué la función de Lagrange de un cuerpo en movimiento libre es proporcional a v ^ 2. 1) debido a la homogeneidad del espacio y el tiempo, L no puede depender explícitamente de las coordenadas y el tiempo 2) debido a la isotropía del espacio, no podría depender de ninguna dirección determinada 3) las transformaciones galileanas pueden cambiarlo solo por la derivada completa del espacio y el tiempo. Estas 3 restricciones nos dan solo la opción L = constante v ^ 2.

Otra cosa simple a considerar es lo que ese término cuadrado significa para la velocidad del vector. El momento es un vector (masa escalar multiplicada por la velocidad del vector). La energía no es un vector sino un escalar (masa x velocidad x velocidad da unidades que no pueden tener una dirección inherente). Esto es razonable ya que la energía no tiene una dirección asociada.