Al considerar una situación física, ¿por qué suponemos que la ecuación de Euler-Lagrange se cumple para cada coordenada generalizada del sistema dado?

No lo suponemos así. Esto es una consecuencia de que tomemos las coordenadas generalizadas como independientes, es decir, que solo una combinación única de las coordenadas puede especificar completamente un cierto estado físico del sistema. Si las coordenadas tienen relaciones impuestas en forma de restricciones , entonces las ecuaciones de Euler-Lagrange para ellas no se mantendrán en general en cada punto de la trayectoria. Sin embargo, mediante transformaciones adecuadas podríamos idear un nuevo conjunto de coordenadas generalizadas de menor cardinalidad. Como por ejemplo, restringir una partícula libre a un círculo de la forma [math] x ^ {2} + y ^ {2} = a ^ {2} [/ math] nos daría, además, [math] x \ dot {x} + y \ dot {y} = 0 [/ math] y resulta que somos técnicamente capaces de expresar el movimiento de la partícula con [math] 4 [/ math] parámetros en lugar de [math] 6 [/ math]. Las coordenadas generalizadas [matemáticas] 2 [/ matemáticas] podrían ser, por ejemplo, [matemáticas] h = z [/ matemáticas] y [matemáticas] \ theta = \ sin ^ {- 1} \ frac {x} {r} [ / math], las coordenadas cilíndricas habituales.

Al llegar a la ecuación de Euler-Lagrange para el sistema describible por [matemáticas] 2n [/ matemáticas] entidades [matemáticas] q_ {i}, \ dot {q_ {i}} [/ matemáticas], uno aplica pequeñas perturbaciones (fijadas en el posiciones iniciales y finales de la trayectoria en cuestión) a [matemáticas] q_ {i} (t) [/ matemáticas], como por ejemplo [matemáticas] q_ {i} (t) = q ^ {(0)} _ { i} (t) + \ alpha \ eta_ {i} (t) [/ math] con pequeño [math] \ alpha [/ math]. Entonces, uno llega a algo como:

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {n} \ int_ {1} ^ {2} \ left (\ frac {\ partial L} {\ partial q_ {i}} – \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {q} _ {i}} \ right) \ eta_ {i} (t) dt = 0 [/ math]

Podemos afirmar que las [matemáticas] \ frac {\ partial L} {\ partial q_ {i}} – \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial L} {\ partial \ dot {q} _ {i }} [/ math] son ​​simultáneamente todos [math] 0 [/ math] solo si las perturbaciones [math] \ eta_ {i} [/ math] se consideran completamente arbitrarias. Si hubiera restricciones entre las coordenadas, también surgirían restricciones entre las perturbaciones.