La función delta de Dirac juega un papel bastante importante en la mecánica cuántica. En general, se utiliza para normalizar funciones de onda que no pueden normalizarse a la unidad. Dichas funciones están convenientemente normalizadas a la función delta de Dirac.
Para cualquier operador, digamos [math] {\ Omega} [/ math] que es de dimensión infinita, queremos que la base de eigenket sea ortonormal y completa. Esencialmente requerimos que las siguientes dos condiciones sean satisfechas por los eigenkets de [math] {\ Omega} [/ math]:
[matemáticas] {\ langle \ omega ‘| \ omega \ rangle = 0} [/ math] para [math] {\ omega ‘\ neq \ omega} [/ math]
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[matemáticas] {\ langle \ omega | \ omega \ rangle = 1} [/ matemáticas]
Expresando el operador [math] {\ Omega} [/ math] en la base [math] {X} [/ math]: [math] {\ langle x | \ omega \ rangle = \ psi_ \ omega (x)} [/ math]
Si es normalizable a la unidad, podemos encontrar una constante C tal que:
[matemáticas] {C ^ 2 \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} \ psi_ \ omega (x) \ psi_ \ omega * (x) d \ omega = 1} [/ matemáticas]
A veces, los eigenkets son tales que no se pueden normalizar a la unidad (por ejemplo, un eigenket como [math] {\ psi_ \ omega (x) = e ^ {- i \ omega x}} [/ math]) En ese caso lo mejor que podemos hacer es normalizarlo a la función delta de Dirac. La función delta de Dirac se denota por [math] {\ delta (x’- x)} [/ math] que es cero para todas [math] {x ‘\ neq x} [/ math] e infinito para [math] {x ‘\ equiv x} [/ math]. Sirve para nosotros el mismo tipo de propósito que el producto interno de dos eigenkets con diferentes valores de x ‘ yx se convierte en cero, mientras que no es cero solo cuando los dos eigenkets tienen casi el mismo valor de x .
Por lo tanto, se puede encontrar C y la función de onda se puede normalizar fácilmente.
