Esto se debe a una condición de consistencia fundamental dentro de la (versión cuántica de) la teoría de cuerdas de que la dinámica no debe depender del par de números (parámetros) que usamos para realizar un seguimiento de la ubicación de una cadena en el espacio-tiempo.
Como tal, cuando una cadena se mueve en el espacio-tiempo, traza una hoja bidimensional, a veces conocida como la hoja del mundo espacio- tiempo / espacio-objetivo de la cadena) Podemos describir cualquier punto de esta hoja con dos números, uno diciéndonos qué tan lejos estamos a lo largo de la hoja, y uno más para decirnos qué tan horizontalmente estamos a lo largo de la hoja. Este espacio bidimensional se denomina de manera algo confusa como la hoja del mundo de la cadena , y denotamos los dos números que necesitamos para hacer un seguimiento de la posición en esta hoja como los parámetros de la cadena.
Ahora una elección de parámetros es redundante; Podemos parametrizar la cadena de la hoja del mundo como queramos, porque estamos describiendo la misma superficie bidimensional en el espacio-tiempo. En particular, podríamos elegir nuestros parámetros para que cuando el que describe qué tan lejos de la hoja del mundo estamos sea constante, esto describa una cadena en un momento particular.
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Ahora, la dinámica de las cadenas clásicas (no las de mecánica cuántica que veremos en breve) es tal que respeta que una elección de parámetros de cadena es físicamente redundante: ninguna de las predicciones de la teoría depende de esta elección, lo que tiene sentido porque, para reiterar, esta opción es redundante ya que estamos describiendo la misma hoja, solo en diferentes parametrizaciones. Decimos que la teoría es invariable bajo las posibilidades de los parámetros de la cadena. Formalmente esto se conoce como invariancia de reparametrización, y por eso decimos que la teoría clásica de cuerdas es invariante de reparametrización. Este es un ejemplo de simetría en una teoría.
La naturaleza es mecánica cuántica en escalas microscópicas, por lo tanto, si la teoría de cuerdas va a ser una teoría viable de la naturaleza, debe ser mecánica cuántica en estas escalas, por lo que ahora pasamos a la teoría de cuerdas cuánticas. Ahora en la teoría clásica, la teoría tenía una simetría debido a la invariancia de reparametrización, pero las teorías de la mecánica cuántica no necesariamente tienen las mismas teorías que sus análogos clásicos . Cuando la versión cuantizada de una teoría clásica no comparte sus simetrías, decimos que la teoría cuántica es anómala , y la no invariancia de esta teoría cuántica se llama anomalía.
Ahora, en la teoría cuántica de la cuerda, ¡la invariancia de reparametrización ya no es una simetría! ¡Por lo tanto, esta simetría se convierte en una anomalía en la teoría de cuerdas cuánticas! Este es un problema real, porque en la teoría clásica la elección de los parámetros de la hoja del mundo era completamente redundante físicamente. Pero en la teoría de cuerdas cuánticas, ¡esta elección de parámetros parece ser realmente físicamente significativa! En otras palabras, las predicciones físicas en la teoría de cuerdas cuánticas se preocupan ingenuamente sobre los parámetros que utiliza para describir la cadena. Para que esto sea coherente con la teoría clásica de cuerdas (de modo que podamos decir con razón que la teoría cuántica de cuerdas tiene la teoría clásica de cuerdas como su límite clásico, a grandes escalas) debemos tener en cuenta y cancelar adecuadamente esta anomalía. Es precisamente esto lo que corrige la dimensión espacio-tiempo en la teoría de cuerdas.
Lo que sucede es que esta anomalía es exactamente proporcional a una expresión que involucra la dimensión espacio-temporal. Igualar esto a cero (y, por lo tanto, cancelar la anomalía) da exactamente la condición de que la dimensión del espacio-tiempo debe ser fija.
El número mágico particular de dimensiones requeridas para cancelar la anomalía en realidad depende del tipo particular de teoría de cuerdas que uno está considerando. La teoría de cuerdas que la mayoría de las personas conocen cuando comienzan a abordar la teoría de cuerdas es la teoría de cuerdas bosónica. En este caso, la teoría de la cadena bosónica requiere, notablemente, que hay un total de 26 dimensiones espacio-temporales. ¡Esto es bastante! Sin embargo, la teoría bosónica no puede describir partículas de materia y, por lo tanto, no es físicamente viable (pero es una teoría interesante desde una perspectiva teórica / modelo de juguete). Para describir las partículas de materia, debe considerar la teoría de cuerdas supersimétricas o la teoría de las supercuerdas más sucintamente (¡a la gente de la supersimetría simplemente le encanta pegarse “super” frente a todo!). En la teoría de supercuerdas, el número requerido de dimensiones es 10.
Una respuesta mucho más técnica (¡si está interesado!) Es que desde el punto de vista de la hoja del mundo, la teoría de cuerdas es solo una teoría de campo conforme bidimensional con un número (igual al número de dimensiones espacio-temporales) de independiente campos escalares que viven en él. Cambiar los parámetros de la cadena equivale a realizar difeomorfismos de la hoja del mundo. Esta teoría del campo conforme tiene una anomalía bajo los difeomorfismos de la hoja del mundo que está exactamente relacionada con su carga central, que a su vez está relacionada con el número total de campos escalares (y, por lo tanto, con el número total de dimensiones espacio-temporales). Cancelar esta anomalía nuevamente requiere que arreglemos la dimensión total del espacio-tiempo. En la teoría de supercuerdas, los campos fermiónicos adicionales (en oposición a los bosínicos) hacen una contribución negativa a la carga central y, por lo tanto, esto reduce el número requerido de dimensiones espacio-temporales necesarias para cancelar la anomalía. Es por eso que la supersimetría predice que hay un total de 10 dimensiones espacio-temporales.
