Las cosas generalmente se mantienen localizadas y no solo saltan porque las cosas en este universo obedecen la ecuación de Schrödinger. Es decir (en el espacio libre y con una dimensión espacial para simplificar) las cosas obedecen a esta ecuación:
[matemáticas] – \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {\ partial ^ 2 \ psi} {\ partial x ^ 2} = i \ hbar \ frac {\ partial \ psi} {\ partial t} [ /matemáticas]
Comencemos con las condiciones iniciales de algo localizado en el espacio unidimensional: podemos usar una forma gaussiana en [math] t = 0, [/ math] representando una partícula con una distribución de momento centrada en el valor [math] p_ {0 } [/ math] y una distribución de posición centrada en el origen de la posición [math] x = 0 [/ math]. Podemos escribirlo así:
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[matemáticas] \ psi (x, t = 0) = \ frac {1} {\ sqrt {\ sqrt {\ pi} \ sigma}} e ^ {\ frac {-x ^ 2} {2 \ sigma ^ 2} } e ^ {\ frac {ip_ {0} x} {\ hbar}} [/ math]
Cuando calculamos la densidad de probabilidad [matemática] | \ psi | ^ 2 [/ matemática] en [matemática] t = 0 [/ matemática] en el espacio de posición (es decir, la expresión de probabilidad de donde esperamos encontrarla) parece esta:
Es decir, una curva gaussiana alcanzó su punto máximo en [matemática] x = 0 [/ matemática], pero con un poco de incertidumbre sobre dónde está exactamente, esta incertidumbre expresada por el ancho del gaussiano.
Si luego dejamos que la ecuación de Schrödinger evolucione (es decir, la ejecute en algún momento futuro [matemática] t = t_ {1} [/ matemática]) esto evolucionará en una nueva distribución gaussiana que se verá así:
[matemáticas] \ psi (x, t) = \ sqrt {} \ frac {\ sigma} {\ sqrt {\ pi} (\ sigma ^ 2 + i \ hbar t / m)} e ^ {{\ frac {1 } {2}} \ frac {(x-p_ {0} t / m) ^ 2} {\ sigma ^ 2 + i \ hbar t / m} + \ frac {i} {\ hbar} \ frac {(p_ {0} x-p_ {0} ^ 2t)} {2m}} [/ math]
Lo que necesitamos saber sobre esta expresión (bastante más peluda) es que cuando calcula la densidad de probabilidad, expresa otra distribución gaussiana que viaja a lo largo del eje x a una velocidad promedio de [matemáticas] p_ {0} / m [/ math], (eso es bueno, porque configuramos la expresión original para tener impulso [math] p_ {0} [/ math]). También se extenderá un poco, pero no demasiado:
Esta difusión ocurre porque comenzamos con un gaussiano con un rango de momentos (el rango estaba centrado en [matemáticas] p_ {0} [/ matemáticas], pero no obstante era un rango). La cantidad por la cual esto se extiende a lo largo del tiempo se puede expresar en términos de la desviación cuadrática media de la raíz de la posición media:
[matemáticas] \ Delta x = \ frac {\ sqrt {\ sigma ^ 2 + h ^ 2 t ^ 2 / m ^ 2 \ sigma ^ 2}} {\ sqrt {2}} [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que esta expansión a lo largo del tiempo solo es significativa si la masa es realmente muy pequeña (porque [math] h [/ math] es muy, muy pequeña). Nuevamente, esto debería ser como esperamos (observamos que los objetos cotidianos no se extienden demasiado).
Todo esto se centró en el ejemplo de una función de onda gaussiana unidimensional que evoluciona en el espacio libre. Elegimos esto porque es simple de trabajar y fácil de derivar expresiones que nos dicen cómo se comporta. Pero las características de moverse de manera predecible y extenderse lentamente no son específicas de nuestra elección de ese conjunto de condiciones iniciales, son características bastante generales de las soluciones a la ecuación de Schrödinger: las cosas tienden a permanecer más o menos localizadas y evolucionar en formas continuas y suaves. Y una vez que los objetos se vuelven lo suficientemente grandes, podemos recuperar un comportamiento clásico agradable y suave directamente de la misma ecuación.
Este comportamiento es tan omnipresente a grandes escalas que es aún más sorprendente cuando vamos a lo muy pequeño y estudiamos aquellas situaciones en las que la ecuación de Schrödinger permite un comportamiento un poco más “nervioso”. Cosas como el túnel cuántico. Estas circunstancias solo surgen en algunas circunstancias en las escalas más pequeñas, y pensamos en los fenómenos como peculiarmente cuánticos.
Entonces, las cosas en este universo generalmente no saltan porque los objetos obedecen la ecuación de Schrödinger y, por lo tanto, adoptan el comportamiento inherente a esa ecuación.
“Está bien”. Podríamos decir. “Pero, ¿por qué las cosas en este universo obedecen la ecuación de Schrödinger?”
En este punto, las explicaciones proporcionadas por la física se basan en un hecho bruto. Solo lo hacen.