¿Por qué si [math] p_ \ mu \ to p_ \ mu-eA_ \ mu [/ math], entonces [math] \ partial_ \ mu \ to \ partial_ \ mu + ieA_ \ mu [/ math]?

Esas dos sustituciones son formas equivalentes de escribir lo mismo, porque por definición, [math] p_ \ mu = i \ partial_ \ mu [/ math] (en unidades donde [math] \ hbar = 1 [/ math]). Entonces, cuando agrega [matemática] ieA_ \ mu [/ matemática] a [matemática] \ parcial_ \ mu [/ matemática] es lo mismo que agregar [matemática] i [/ matemática] veces que a [matemática] p_ \ mu [ /matemáticas].

Para un ejemplo concreto, considere la ecuación de Dirac,

[matemáticas] (i \ gamma ^ \ mu \ partial_ \ mu – m) \ psi = 0 [/ matemáticas]

La forma de acoplar el campo de Dirac al campo electromagnético es simplemente hacer la sustitución [math] \ partial_ \ mu \ to \ partial_ \ mu + ieA_ \ mu [/ math], dando

[matemáticas] (i \ gamma ^ \ mu (\ partial_mu + ieA_ \ mu) – m) \ psi = 0 [/ matemáticas]
o
[matemáticas] (i \ gamma ^ \ mu \ partial_mu – e \ gamma ^ \ mu A_ \ mu – m) \ psi = 0 [/ matemáticas]

Pero también podrías haber escrito la ecuación de Dirac de esta manera,
[matemáticas] (\ gamma ^ \ mu p_ \ mu – m) \ psi = 0 [/ matemáticas]

Observe que podemos reescribir nuestra ecuación de Dirac mínimamente acoplada reemplazando [math] \ partial _ {\ mu} [/ math] por [math] -ip_ \ mu [/ math], que da

[matemática] (\ gamma ^ \ mu p_ \ mu – e \ gamma ^ \ mu A_ \ mu – m) \ psi = 0 [/ matemática]
o
[matemáticas] (\ gamma ^ \ mu (p_ \ mu – eA_ \ mu) – m) \ psi = 0 [/ matemáticas]
que es lo mismo que habríamos obtenido sustituyendo [math] p_ \ mu \ por p_ \ mu – eA_ \ mu [/ math] en primer lugar.

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En la teoría cuántica de campos, ¿son las partículas, comúnmente descritas como excitaciones de campos, necesariamente esféricas?

Porque [math] -i p_ \ mu [/ math] es la representación en el espacio de momento de la forma del espacio de posición del operador derivado parcial [math] \ partial_ \ mu [/ math].

El factor de -i proviene de la transformada de Fourier.

Recuerde que si [math] f (p) [/ math] tiene la transformada de Fourier [math] g (x) [/ math], entonces [math] pf (p) [/ math] tiene la transformada de Fourier [math] \ left (i \ frac {d} {dx} \ right) g (x) [/ math].

Por lo tanto, el operador diferencial de espacio de posición se puede representar en el espacio de impulso de la siguiente manera:

[matemáticas] \ parcial_ \ mu \ equiv -i p_ \ mu [/ matemáticas].

Estas son dos formas equivalentes de escribir la sustitución mínima, lo que hace que la teoría de QED sea localmente invariante, dado que el campo de electrones [math] \ psi (x) [/ math] se transforma por una fase espacialmente dependiente que significa que

[matemáticas] \ psi (x) \ flecha derecha e ^ {i \ theta (x)} \ psi (x) [/ matemáticas]

al mismo tiempo que el campo de fotones [math] A_ \ mu (x) [/ math] se transforma en [math] A_ \ mu (x) – \ partial_ \ mu \ theta (x) [/ math].

Brent Follin

Esto se debe a que el operador de impulso representado en la base de la posición está dado por una derivada del espacio-tiempo. Lo resuelvo desde cero, comenzando con la definición de traducir un sistema con un operador de traducción, aquí:
Una derivación del operador de impulso mecánico cuántico en la representación de posición

Si trabaja en la base de impulso, entonces usaría la expresión anterior en términos de [math] p_ \ mu [/ math], pero cuando se expresa en la base de posición, el operador de momentum tiene elementos de matriz que son derivados del espacio-tiempo.

Brian Bi

Es más natural pensar en la otra dirección, y ni siquiera estoy seguro de que la implicación siga en ambos sentidos (probablemente lo haga, pero no tengo ganas de comprobarlo). La última expresión es una consecuencia directa de la invariancia de calibre U (1) (invariancia de fase) del lagrangiano E&M, y una vez que realiza esa sustitución en el lagrangiano, obtiene la expresión anterior de
[matemáticas] p_ \ mu = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ dot {x} ^ {\ mu}} [/ math]

Brian Bi

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