Supongamos que su sección transversal orientada hacia adelante tiene un área arbitraria “A_1” y su sección transversal orientada hacia arriba tiene área “A_2”. Las gotas de lluvia, como si estuvieran completamente congeladas en el espacio, tienen una densidad numérica constante “d” y se sientan flotando en el espacio por el momento, aunque hay dos velocidades en juego aquí, la de la persona corriendo, “v_1”, y eso de la lluvia cayendo, “v_2”. Asumiré que la persona se mueve solo horizontalmente y que la lluvia se mueve solo verticalmente. Deje que “D” sea igual a la distancia desde su posición actual hasta su destino. T = D / (v_1) muestra el tiempo que le lleva llegar a su destino.
El número de gotas de lluvia que golpeas al avanzar, N_1, es aproximadamente igual a d * (A_1) * D. El número de gotas de lluvia que golpea la lluvia que cae sobre usted en este momento, N_2, es d * (A_2) * (v_2) * t = d * (A_2) * (v_2) * D / (v_1). Estos valores reflejan el número de gotas contenidas en el volumen de aire barrido moviendo cada área a lo largo de su dimensión respectiva.
El número total de gotas que te golpeó, “N”, es igual a:
d * D * [(A_1) + (A_2) * (v_2) / (v_1)].
Suponiendo que la lluvia tiene una velocidad promedio constante y que mantiene su posición anterior, está claro que N solo depende y es inversamente proporcional a su velocidad de carrera, lo que indica que cualquier aumento en la velocidad de carrera resultará en que menos gotas lo golpeen. Si permitimos que su postura varíe, y así A_1 y A_2 cambian a medida que cambia v_1, el problema se vuelve más complicado: es lamentable que no tenga las herramientas disponibles para comenzar a resolver esta parte, ya que posiblemente sea la más influyente en el modelo general.
Las buenas estimaciones de cómo cambian las áreas de sección transversal con la velocidad de ejecución mejorarían en gran medida este modelo, pero lamentablemente faltan en mi análisis. En ausencia de tales datos, intentaré simplificar el problema. Dados A_1 = f (v_1) y A_2 = g (v_1), la solución se convierte en:
N = N (v_1) = d * D * [f (v_1) + g (v_1) * (v_2) / (v_1)].
Buscando un máximo general y eliminando coeficientes arbitrarios:
dN / d (v_1) = df / d (v_1) + (v_2) * ([(v_1) * dg / d (v_1) – g (v_1)] / (v_1) ^ 2) = 0.
Podemos reformular el problema ahora como:
df / d (v_1) = (-1) * (v_2) * ([(v_1) * dg / d (v_1) – g (v_1)] / (v_1) ^ 2)
= (v_2) * [g (v_1) / (v_1) ^ 2 – (dg / d (v_1)) / (v_1)].
Para ecuaciones más limpias, llamando a df / d (v_1) “m”, v_1 ”v”, v_2 “u”, tenemos:
g (v) = c * v- (m * v ^ 2) / u,
donde “c” es una constante desconocida.
Un enfoque (tonto) es resolver esto cuando m = 0, lo que significa que la persona está de pie, pero se mueve con una pequeña velocidad, justo antes del punto donde moverse más rápido significa inclinarse hacia adelante. Entonces g (v) = c * v, lo que nos daría una estimación aproximada de la cantidad de lluvia que recibiría al caminar lentamente. En realidad, las personas tienen múltiples pasos que solo cambian en rangos de velocidad relativamente pequeños, por lo que este enfoque podría ser válido en múltiples puntos, siempre que m = 0 en ese punto.
Esto es solo una reformulación de nuestro resultado anterior. Significa que, siempre y cuando nunca se incline, nunca, pero aumente su velocidad al máximo, estará más seco cuando llegue a su destino. N se determina entonces por d * D * (A_1 + c * u), para alguna constante desconocida “c”. Por razones que estoy demasiado cansado para explicar, pero espero que pueda determinarlo por su cuenta, creo que este valor está cerca de (1 / v) mientras está de pie, por lo que la solución se convierte en d * D * (A_1 + u / v ) Ahora, “u” suele ser de unos 9 metros por segundo, y nuestro humano promedio logrará correr a unos 6 metros por segundo, dependiendo, pero las personas solo caminan a unos 2.2 metros por segundo, por lo general. Entonces, N_walk = d * D * (A_1 + 4), y si estiramos un poco el modelo, N_run = d * D * (A_1 + 1.5). Esto parecería indicar que moverse a un ritmo más rápido y al más rápido que cualquier marcha permitiría (es decir, trotar justo antes de moverse lo suficientemente rápido como para correr) es la forma ideal de evitar ser golpeado por la lluvia.
Otro enfoque requeriría retroceder y sustituir los valores de ejecución para u y v para obtener algunas respuestas
m = 9 * ([- 6 * dg / d (v) + g (6)] / (6) ^ 2)
= g (6) / 6 – 1.5 * dg (6) / d (v).
Suponiendo que a esta velocidad “-1.5 * dg (6) / d (v)” sería bastante pequeño (aunque todavía no es insignificante, simplemente rodar con él), esto significa que la función se maximiza localmente alrededor de la velocidad cuando el cambio en su área delantera por metro por segundo es igual a un sexto de su área estática hacia arriba. Eso no es del todo fácil de imaginar, pero admite una cierta solución para nosotros si somos … generosos. (No somos nada sino generosos).
Esto se reduce a decir que df / d (v_1) es aproximadamente igual a g (v_1) / 6, para nuestros propósitos. Al integrar, obtenemos que f (v_1) es casi igual a int (g (v_1), 0,6) / 6, más una constante que estamos tirando por ahora. Nuevamente, sin conocer las funciones o los datos, no podemos calcular exactamente este valor, pero (generosamente) suponiendo que g (v_1) es aproximadamente lineal sobre nuestra área local, podemos determinar que f = g ^ 2/12. Continuando con esta serie de sustituciones, obtenemos que N (v_1) es proporcional a g ^ 2/12 + 1.5 * g, por lo que se maximiza cuando se maximiza el área de la sección transversal superior, lo que significa CORRER COMO EL VIENTO a menos que tenga datos reales en la forma en que la gente realmente corre como el viento. En cuyo caso, definitivamente deberías comprobar mis horribles matemáticas.
En cualquier caso, este método me dio:
N_run = d * D * [g ^ 2/12 + g * 1.5], pero en realidad debería ser algo más pequeño que eso.
Múltiples enfoques con modelos matemáticos a problemas que no puede resolver directamente pueden proporcionarle más que solo respuestas incorrectas múltiples . Ninguno de estos modelos es exacto a la realidad; sin embargo, podemos ver en cada solución una tendencia general, y poder confiar en esa tendencia al encontrar una respuesta. Mi conclusión es que correr lo más rápido posible es probablemente la mejor manera de mantenerse seco, pero todavía hay muchos problemas con esa respuesta.
Otros factores extraños que no se modelan aquí incluyen el hecho de que sus brazos y piernas se mueven mucho más rápido que su velocidad general, el hecho de que la lluvia casi nunca cae del todo verticalmente y las salpicaduras que crea el corredor al moverse rápidamente. Además, técnicamente, las gotas de lluvia tienen sus propias áreas de sección transversal orientadas en relación con el corredor, por lo que no son solo puntos infinitesimales en el espacio. Podemos simplificar el problema y tratarlos como puntos en el espacio si sumamos el radio de una gota a la normalidad de las curvas que encierran las áreas de sección transversal A_1 y A_2, pero este efecto es pequeño y ciertamente mucho, mucho más pequeño que los grandes errores He acumulado a través de la estimación y mi solución demasiado simple.
Lo siento, esta es una respuesta un poco despotricante, solo pensé que agregaría mi justificación para este problema. He resuelto este problema varias veces en mi cabeza sin llegar a una respuesta verdadera todavía. ¡No eres el único que se aburre en las clases!
