Una gran razón por la que puedo pensar para demostrar por qué los espejos parabólicos son mejores que los espejos esféricos es que los espejos parabólicos tienen un solo punto de enfoque.
Por otro lado, los espejos esféricos tienen muchos puntos que podemos llamar como “foco”.
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Si observa de cerca la imagen de arriba, puede ver claramente que todos los rayos de luz paralelos, después del reflejo de la superficie parabólica, se encuentran en el mismo punto.
En el caso de un espejo esférico, algunos de los rayos no se encuentran en el mismo punto en el eje principal. ¡Sip! ¡Hay una aberración esférica!
Te mostraré la razón de esa aberración esférica. Permítanme explicar por qué sucede esto usando un enfoque matemático …
Consideremos un caso general. Supuse que nuestro espejo es alguna función de [matemáticas] x [/ matemáticas]
[matemáticas] y = f (x) [/ matemáticas] es nuestro espejo general.
Podemos escribir la distancia focal [matemáticas] (f) [/ matemáticas] de la siguiente manera …
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} f & = y + \ dfrac {x} {\ tan 2 \ phi} \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]
Usando la Identidad Trigonométrica, [matemáticas] \ tan 2 \ phi = \ dfrac {2 \ tan \ phi} {1- \ tan ^ 2 \ phi} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} f = y + \ dfrac {x (1- \ tan ^ 2 \ phi)} {2 \ tan \ phi} \ end {split} \ end {ecation} \ tag *{}[/matemáticas]
Observe que [math] \ tan \ phi = \ dfrac {dy} {dx} [/ math]
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ implica \ boxed {f = y + \ dfrac {x \ left [1- \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) ^ 2 \ right]} {2 \ frac {dy} {dx}}} \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {1} [/ math]
Entonces esa es nuestra expresión general.
Ahora pensemos en los espejos parabólicos …
Considere una parábola de la forma [math] y = ax ^ 2 [/ math]
Tomando derivada de ambos lados …
[matemáticas] \ dfrac {dy} {dx} = 2ax [/ matemáticas]
Veamos qué obtenemos al sustituir estas ecuaciones en Ecuación- [matemáticas] 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} f & = y + \ dfrac {x \ left [1- \ left (\ frac {dy} {dx} \ right) ^ 2 \ right]} {2 \ frac { dy} {dx}} \\ & = ax ^ 2 + \ dfrac {x (1- (2ax) ^ 2)} {2 (2ax)} \\ & = ax ^ 2 + \ dfrac {x (1-4a ^ 2x ^ 2)} {4ax} \\ & = \ dfrac {4a ^ 2x ^ 2 + 1-4a ^ 2x ^ 2} {4a} \\ & = \ boxed {\ dfrac {1} {4a}} \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]
La longitud focal de un espejo parabólico es [matemática] \ dfrac {1} {4a} [/ matemática]. ¡Lo cual es claramente independiente de [matemáticas] x [/ matemáticas] y [matemáticas] y [/ matemáticas]!
Esto significa que no importa donde el rayo de luz paralelo golpee el espejo, seguramente pasará por ese punto que llamamos “Enfoque” 🙂
Entonces, los espejos parabólicos tienen un solo punto de enfoque y todos los rayos de luz paralelos, después de la reflexión desde el espejo, pasan a través del foco.
¡Ahora pensemos en los espejos esféricos e investiguemos cómo son diferentes!
Si piensa un poco, la ecuación de espejo esférico que vamos a usar será [matemática] x ^ 2 + (año) ^ 2 = r ^ 2 [/ matemática]
Esto se debe a que nuestra esfera debe estar centrada en las unidades [matemáticas] r [/ matemáticas] en el eje [matemáticas] y [/ matemáticas] para que el espejo realmente toque el eje y el origen [matemáticas] x [/ matemáticas] .
Si resuelve [math] y [/ math] en la ecuación de espejo esférico, obtendrá …
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} y = r- \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2} \ end {split} \ end {ecation} \ tag * {} [/ math]
Al tomar derivada de ambos lados, obtendrá …
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ dfrac {dy} {dx} & = \ dfrac {x} {\ sqrt {r ^ 2-x ^ 2}} \ end {split} \ end {ecuación } \ tag * {} [/ math]
Si sustituye estos valores de [matemática] y [/ matemática] y [matemática] \ dfrac {dy} {dx} [/ matemática] en la Ecuación- [matemática] 1 [/ matemática], obtendrá la distancia focal como …
[matemáticas] \ begin {ecation} \ begin {split} \ boxed {f = r \ left (1- \ dfrac {r} {2 \ sqrt {r ^ 2-x ^ 2}} \ right)} \ end { split} \ end {ecuación} \ tag * {} [/ math]
Si observa detenidamente la expresión anterior, se dará cuenta de que la distancia focal es función de [matemáticas] x [/ matemáticas]. Si el valor de [math] x [/ math] cambia, entonces la distancia focal en sí misma cambia. Eso significa que en el caso de los espejos esféricos, la distancia focal depende de dónde el rayo de luz incida en el espejo.
Esto también implica que cada rayo de luz que incide en la superficie del espejo esférico tiene su propio “foco”.
Ahora, si se pregunta cómo es útil esta característica de un solo foco de espejos parabólicos, aquí hay un ejemplo muy simple …
¡Piensa en los telescopios!
¡Los poderosos y grandes telescopios utilizados en los Observatorios Astronómicos necesitan capturar imágenes súper nítidas y cristalinas de las maravillas celestiales en nuestro hermoso Cosmos!
¡No podemos comprometernos por el enfoque nítido perfecto!
De lo contrario, estas imágenes serán borrosas y nunca hubiéramos podido ver estas golosinas 🙂
