Esta es en realidad una pregunta sorprendentemente complicada.
Consideremos primero una partícula libre, es decir, una para la cual el potencial es cero.
Ingenuamente, podría pensar que un impulso definido a través de la ecuación [matemáticas] E = \ frac {p ^ 2} {2m} [/ matemáticas] implica una energía definida.
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Sin embargo, resulta que para usar esta ecuación en esta situación, debe suponer que la diferencia entre el valor de expectativa del momento al cuadrado y el valor de expectativa al cuadrado del momento es cero, ya que eso es lo que le permitiría sustituir un número [ matemática] p ^ 2 [/ matemática] que representa un valor definido para el momento al cuadrado para el valor esperado del momento al cuadrado cuando en realidad solo se conoce un valor definido para el momento. Pero para que ese sea el caso, el estado definido de energía de momento debe modelarse como una onda plana única. Conceptualmente, la razón de esto es que la forma de onda plana [matemática] Ae ^ {i / \ hbar (px-Et)} [/ matemática] expresa el momento y la energía directamente en términos mutuos y la energía de una partícula libre es no relativista exactamente proporcional a su momento al cuadrado.
Desafortunadamente, un estado cuántico representado por una onda plana no es cuadrado integrable. Lo que eso significa es que usted requiere que su teoría le dé un número finito cuando integra el cuadrado absoluto de la función de onda en todo el espacio (lo que resulta ser proporcional a la probabilidad de encontrar la partícula en algún lugar del espacio, que es 1 ), pero para una onda plana esa integral se vuelve infinita. Esencialmente esto sucede porque un estado definido de momento-energía describe una onda plana que se extiende hasta el infinito. No llega a cero en el infinito, pero (para los propósitos de los físicos) la condición para que un estado cuántico sea integrable al cuadrado es que debe ir a cero en el infinito. Un estado debe ser cuadrado integrable para ser considerado físico. Eso significa que este tipo de estado no es físico.
Luego, puede intentar solucionar este problema modelando la partícula como un paquete de ondas porque los componentes de onda plana de un paquete de ondas interfieren de tal manera que lo mantengan localizado, lo que, en su sentido más amplio, significa que va a cero en infinito.
De hecho, eso es lo que se hace en QM para representar partículas en términos de ondas. Hay diferentes formas de hacerlo, pero lo que sucede una vez que modela una partícula como un paquete de onda es que la diferencia entre los valores de expectativa del momento al cuadrado y el cuadrado del valor de expectativa del momento ya no es cero. Conceptualmente, esto se debe a que los momentos de las ondas planas constituyentes del paquete de ondas interfieren o se cancelan de manera diferente a los cuadrados de sus respectivos momentos (por ejemplo, si dos componentes del paquete de ondas tienen momentos iguales y opuestos, entonces el momento combinado de los dos es cero pero la raíz cuadrada de la suma del momento cuadrado combinado no es cero). Eso significa que ya no puede deducir la energía del impulso utilizando la ecuación anterior porque no puede simplemente sustituir el número [matemático] p ^ 2 [/ matemático] por el valor esperado de impulso al cuadrado cuando solo conoce el impulso.
El problema empeora cuando considera una partícula en un potencial porque el potencial generalmente depende de la posición, y según la relación de incertidumbre de Heisenberg, un momento definido corresponde a una posición completamente indefinida, lo que significa esencialmente en cualquier lugar permitido por el potencial.
Entonces, la forma ingenua de deducir la Energía del impulso no funciona. Para deducir la energía del momento cuando tienes un estado de momento definido, debes usar la ecuación de Schödinger: la energía es proporcional a la cantidad que obtienes como coeficiente tomando la derivada del tiempo del estado cuántico que te dio el valor de momento definido es decir, es el valor propio del operador hamiltoniano que actúa en ese estado.
Debido a que muchos estados cuánticos muy diferentes pueden darte un momento de partículas definido (por ejemplo, debido a muchos potenciales diferentes), saber que una partícula tiene un momento definido te dice poco sobre su energía.
