¿Para qué sirve el espacio de Hilbert?

Los espacios de Hilbert no son algo con lo que he trabajado mucho, pero como muchos matemáticos, me encuentro con ellos de vez en cuando. Algunas reflexiones sobre por qué los espacios de Hilbert son importantes y por qué un matemático genérico o un usuario de matemáticas podrían preocuparse por ellos:

El álgebra lineal es una herramienta muy poderosa para resolver todo tipo de problemas matemáticos. Si puede usar algo como la geometría euclidiana clásica también, aún mejor. En realidad, muchas situaciones que no pensarías primero como ‘lineales’ son espacios vectoriales disfrazados. Piense en funciones continuas desde [0,1] a los números reales / complejos, por ejemplo. Es fácil verificar que forman un espacio vectorial bajo la suma puntual y la multiplicación constante, pero es de dimensión infinita y ni siquiera hay una base natural para tomar. En este contexto, la integración es un mapa lineal: en cierto sentido, ¡el cálculo puede reducirse a álgebra lineal! (A su vez, tomar ‘funciones del objeto de interés a los números reales / complejos’ y luego usar métodos basados ​​en la integración es un truco muy general para lanzar en paracaídas los espacios vectoriales y el análisis en una situación que no se ve en absoluto lineal o analítica primera vista.)

Los espacios complejos de Hilbert son un entorno agradable para hacer álgebra lineal + cosas geométricas en un espacio vectorial de dimensiones infinitas. Para analizar los ingredientes y por qué los necesitamos:

Espacio vectorial sobre números complejos: los números complejos son un excelente lugar para hacer análisis, y esto se traslada a espacios vectoriales sobre ellos. También tienen la gran ventaja sobre los reales de estar cerrados algebraicamente: en el contexto de los espacios de Hilbert, tiene el efecto de que los operadores lineales, etc., tienen descomposiciones mucho más limpias en partes que son más fáciles de entender de lo que admitirían sobre los reales. La estructura de orden de los reales también entra en juego, con nociones como rutas (más cortas) entre puntos.

Producto interno: esto es lo que necesita para definir una noción como ángulo, incluida la ortogonalidad. También le da una norma (que es más o menos equivalente a tener una buena noción de distancia en un espacio vectorial). La ‘rigidez’ de las estructuras geométricas (en oposición a las estructuras ‘más suaves’ como los espacios topológicos) se reduce a tener buenas nociones de distancia y ángulos (rectos).

Integridad: muchos problemas implican encontrar una solución aproximando la respuesta; necesita esta condición para asegurarse de que sus aproximaciones realmente converjan a algo en el espacio. Por ejemplo, las funciones continuas en [0,1] pueden ser aproximadas por polinomios, pero a la inversa, desea saber qué secuencias de polinomios realmente convergen en algo continuo. Incluso las nociones básicas de álgebra lineal, como la base de un espacio vectorial, pueden volverse bastante difíciles de manejar en el entorno de dimensiones infinitas si no se logra la convergencia en la imagen. De hecho, si desea una ‘base ortonormal’ para un espacio de Hilbert de dimensión infinita, en realidad no abarcará el espacio vectorial de manera abstracta, sino que será tal que todo se pueda aproximar mediante combinaciones lineales de vectores básicos.

Estas condiciones son realmente bastante especiales: hasta el isomorfismo, solo hay un espacio complejo de Hilbert separable de dimensiones infinitas. (‘Separable’ es un tipo de generalización topológica de ‘contable’, por lo que este es el espacio de Hilbert de dimensión infinita ‘más pequeño’; en la práctica, rara vez necesita usar uno más grande.) Ese espacio específico de Hilbert aparece en muchos diferentes contextos, sin embargo.

Al igual que con el álgebra lineal de dimensión finita, no sueles pensar demasiado en el espacio de Hilbert. Con lo que realmente desea trabajar es con operadores lineales sobre el espacio (y sus primos cercanos, por ejemplo, mapas afines). Aquí se ha desarrollado una extensa teoría para operadores acotados (es decir, los que mantienen la esfera de la unidad dentro de una distancia finita del origen; para que la estructura espacial de Hilbert sea útil, no es necesario preservar la norma, pero no se necesita no quiero que te golpeen demasiado). El conjunto de operadores en sí mismo forma un espacio de Banach (como un espacio de Hilbert, excepto que no tiene un producto interno completo, solo una norma completa; además, hay varias opciones razonables de norma dependiendo de lo que quiera hacer) con un gran cantidad de estructura adicional, como el mapa adjunto (el adjunto A ^ * de A tiene la propiedad = ), espectro (una generalización de valores propios) y, por supuesto, usted puede componer operadores. El espacio de Hilbert también es auto dual de manera canónica (cada mapa lineal delimitado desde el espacio de Hilbert al campo es solo un mapa <-, y>), por lo que la mayoría de los aspectos del álgebra lineal relacionados con la dualidad funcionan muy bien.

¿Para qué sirve Hilbert Space?

Comencemos por darnos cuenta de que 3D Hilbert Space es el espacio ordinario en el que nos percibimos vivir.

La mecánica cuántica utiliza espacios Hilbert de dimensiones superiores (4 o más dimensiones), que nos permiten utilizar nuestra intuición geométrica cotidiana para resolver problemas que normalmente no consideramos problemas geométricos.

Nos permite organizar nuestras observaciones subjetivas de una manera más objetiva. Por ejemplo, aunque percibimos la masa como un fenómeno diferente a la distancia, objetivamente son el mismo fenómeno percibido de dos maneras diferentes, y el espacio de Hilbert nos permite tratar este hecho de manera más objetiva.

Entre muchas otras comodidades, los espacios de Hilbert nos permiten calcular el momento angular como si fuera el área de un plano 2D, la aceleración como si fuera la pendiente de una curva y la masa de un objeto como si fuera la distancia entre dos puntos .

Por ejemplo, usar el espacio de Hilbert para modelar la masa como la distancia entre dos puntos nos permite mostrar que la masa de un objeto es igual a la mitad del radio de un agujero negro con la misma masa. Por lo tanto, la masa de nuestro Sol es de 1.5 kilómetros, ya que el radio de un agujero negro con la misma masa que el Sol es de 3 kilómetros. La masa de la Tierra es igualmente de 4.5 milímetros.

Para aquellos que todavía tienen curiosidad:
¿Qué es exactamente un espacio de Hilbert?

Un espacio de Hilbert es un espacio métrico, es decir. Es un grupo de valores matemáticos, para el cual se definen las distancias entre todos los miembros del conjunto. Esto no se limita a las distancias 3D que normalmente percibimos, podría ser un vector de 4 o más dimensiones. En otras palabras, un espacio de Hilbert es una forma de organizar los elementos en un grupo para que se apliquen las reglas de geometría.

Cada elemento está organizado geométricamente en relación uno con el otro, ya sea dentro de una cuadrícula 2D, que podemos dibujar en papel; dentro de un cubo 3D, del cual podemos construir un modelo físico; o dentro de un objeto geométrico de dimensiones superiores que requiere un pensamiento más abstracto para imaginar.

Podemos usar este sistema incluso si los elementos del grupo no se perciben normalmente como valores geométricos. Podemos usarlo para organizar las mediciones que hacemos de la masa y la energía de un objeto, por ejemplo. Esto es lo mismo que dibujar un gráfico de masa versus energía en una hoja de papel, pero Hilbert Space nos permite trazar 4 o más variables.

El espacio de Hilbert extiende los métodos de álgebra y cálculo de vectores desde los conjuntos bidimensionales y tridimensionales mencionados anteriormente a conjuntos con cualquier número finito o infinito de dimensiones.

Los espacios de Hilbert admiten generalizaciones de conceptos geométricos como el teorema de Pitágoras y la ley de paralelogramo, a partir de su configuración habitual de dos o tres dimensiones. Entonces podemos usar estas leyes matemáticas familiares cuando se trata de cuatro o más dimensiones.

El espacio de Hilbert complejo de dimensión infinita – Wikipedia utilizada en QM en realidad se requiere para cumplir con el Principio de Acción Integral de Albert Einstein – Wikipedia su Teoría de GR. Es decir, el siempre dependiente ” Doble giro 2 conservado en la Dirección de movimiento (SR-línea de mundo) solo simétrico” Graviton elemental con su 2 x 10 = 20 grados de libertad completa no reducible que representa el campo gravitacional – Wikipedia siempre debe ser incluido en cualquier modelo válido de nuestra realidad!

CAP- Las partículas elementales duales deben describirse / analizarse como:

Matemática oscilante armónica ideal . Ondas de puntos en el plano 2D ortogonal a la dirección de movimiento (SR-línea de mundo) con CAP – condiciones de límites dobles abiertos o cerrados.

Open-BC describe todos los Fermiones elementales y compuestos estables, que como consecuencia directa permiten más llamadas Fermi-Familias con solo diferentes masas de descanso conservadas. Open-BC permite interacciones en las únicas direcciones ortogonales posibles del espacio 3D con el CAP- dual solo dos bosones elementales ortogonales de masa en reposo cero, el fotón antisimétrico spin 1 que representa el campo EM completo no reducible y el simétrico girar 2 Graviton. Esto explica por qué todos los Fermions poseen masas de descanso conservadas> cero y daño ideal conservado distinto de cero. densidades de carga oscilantes en el plano 2D ortogonal a la línea mundial ‘generalmente expresadas como magneton de Bohr no cero conservado – Wikipedia.

Closed-BC describe todos los Bosones estables elementales y compuestos, que son estables que cumplen con CAP, ya sea bosones de spin 1 conservados antisimétricos descritos por las matemáticas completas no reducibles solo posibles . nudos que permiten 4D-Spacetime Gauge-Symmetry: U (1) x SU (2) x SU (3). U (1) x SU (2) describe el fotón (campo EM) y los bosones de fuerza nuclear débil {W +, W-, Z} mezclados por el ángulo de Weinberg – Wikipedia y matemática SU (3). describa nuestras 3 Fermi-Familias de los llamados Quarks, que deben analizarse como spin conservados 3/2 Fermions en lugar de en QCD supuesta spin 1/2 Fermions con supuestos adicionales también dobles llamados también Isospin – Wikipedia para terminar con los requisitos 4 grados de libertad. Sin embargo, en la cromodinámica cuántica: Wikipedia, no se puede explicar por qué los Quarks son inestables por sí solos, como resultado siempre incrustados en el llamado Quark-Sea y solo aparecen en conjuntos combinados de al menos 2 Quarks (¡mesones y gluones!) que todos deben ser estables compuestos conservados spin 1 bosones con conservada llamada Chirality (física) – Wikipedia.

Las matemáticas. soluciones extendidas de CAP-2 de doble elemental Partículas elementales extendidas descritas como matemática oscilante armónica ideal. Las ondas de puntos en el plano 2D perpendicular a la dirección de movimiento (SR-línea de mundo) con 2 BC abiertas o cerradas duales , pueden matemática. solo se describirá en el complejo infinito dimensional Hilbert-Space. Entonces, para analizar la formulación matemática de la mecánica cuántica – Wikipedia correctamente, se requiere el llamado “espacio de Hilbert” de David Hilbert – Wikipedia para analizar correctamente las interacciones de nuestras 3 Fermi Families Universe con 26 partículas elementales diferentes.

En estos análisis, tanto la energía proporcional a una frecuencia como el momento angular conservado llamado giro en la dirección de movimiento se explican explícitamente. Es decir, la mecánica cuántica se explica completamente lógica.

La respuesta de Greg Sunderlands es excelente. Una aplicación que utilizamos en nuestra vida cotidiana (la mayoría de nosotros sin saberlo) es el procesamiento de señales digitales. Por ejemplo, cuando estás escuchando un mp3 o usando tu ecualizador en tu estéreo o viendo un video.
Las muestras de un sonido digitalizado pueden verse como un vector largo, por lo que si tiene una grabación de un sonido, se trata de un espacio de Hilbert de muy alta dimensión. Al igual que en nuestra geometría 3D, podemos calcular una distancia entre vectores para tener una medida de similitud de señales. (correlación) Podemos hacer transformaciones coordinadas y cambiar la base, eso es lo que se está haciendo cuando convertimos una señal de espacio de tiempo a espacio de frecuencia. (ver transformada de Fourier)

En física, el espacio de Hilbert es una parte importante tanto de la mecánica cuántica como de la teoría cuántica de campos. Sin embargo, se usa de manera diferente en las dos teorías. Mi teoría favorita, como saben la mayoría de los coroanos, es QFT, porque explica muchas cosas, y el espacio de Hilbert se usa porque las cantidades físicas, incluidas las intensidades de campo, se tratan como si solo pudieran tomar valores discretos. Sin embargo, los no matemáticos no necesitan preocuparse por esto. Como digo en mi Capítulo 10 (haga clic aquí si desea leer todo el capítulo):

Los campos cuánticos no se describen con números simples. Se describen por vectores en lo que los matemáticos llaman espacio de Hilbert y su dinámica se describe por operadores que obedecen a ecuaciones diferenciales parciales. Por lo tanto, mientras que la intensidad de campo clásica se describe mediante un número simple, en QFT hablamos del valor esperado de la intensidad de campo. Sin embargo, dado que mi objetivo es evitar las matemáticas, no profundizaré más en esto. No necesita comprender el álgebra de Hilbert, ni siquiera conocer las ecuaciones de campo, para comprender los conceptos básicos de QFT. Solo recuerda que el espacio de Hilbert no es real; Es una herramienta matemática y no debe confundirse con los campos físicos que existen en el espacio tridimensional real.

Los espacios de Hilbert son útiles para crear un puente conceptual entre matemáticos y físicos. Estos últimos han desarrollado una noción más intuitiva de los espacios de Hilbert a través de aplicaciones en mecánica cuántica. Los matemáticos se acercan a los espacios de Hilbert de la misma manera que lo hacen con otras entidades matemáticas, de una manera axiomática rigurosamente formal sin vincularlo necesariamente a nada en el mundo físico. Los matemáticos y los físicos pueden usar los espacios de Hilbert como el tipo de “terreno común” al que pueden recurrir cuando discuten ciertos tipos de espacios matemáticos, por ejemplo, espacios métricos, entre sí.

Los teoremas del espacio de Hilbert son útiles para que los científicos no matemáticos encuentren la concordancia entre sus entidades físicas y las construcciones teóricas. Una vez que los emparejan, pueden predecir el uso de espacios Hilber, instancias de sus entidades físicas en experimentos. Sin embargo, estas predicciones exitosas no le brindan información adicional precisa sobre la estructura interna. Lo cual sería útil para visualizar la entidad física.

Tiene muchas aplicaciones en física, ver el espacio de Hilbert; más notablemente, en la mecánica cuántica, donde las probabilidades de que una partícula o sistema cuántico tome uno u otro estado se representan en el espacio de Hilbert (para simplificar un poco).

El espacio de Hilbert es la colección de los estados cuánticos de un sistema físico y los observables físicos transforman uno de estos estados en el otro. Es un espacio vectorial funcional.

Dirac – Von Neumann Los axiomas I-III * no son sino la realización espacial de Hilbert de estados y observables.

Como los observables de un sistema físico (no necesariamente mecánico cuántico) generan un álgebra C *, es un resultado matemático.

* La representación de Schrödinger es el axioma IV, se selecciona de manera única por irreductibilidad y regularidad.

Ver también: la respuesta de Jay Wacker a ¿Podría desarrollarse la mecánica cuántica sin espacios de Hilbert?

Los estados cuánticos son elementos de un espacio de Hilbert. Las observaciones son operaciones de cierto tipo (hermitianas) que actúan en espacios de Hilbert. Las cantidades posibles observadas son los valores propios de estos operadores.

¡La reproducción de Kernel Hilbert Spaces es hermosa y crucial para Machine Learning! Básicamente son una forma de formalizar características y núcleos y sus relaciones con espacios de funciones.