No necesitas energía para viajar a través de ninguna dimensión; sólo se necesita energía para acelerar, es decir, cambiar su velocidad, que es la velocidad a la que se mueve. Moverse a velocidad constante no cuesta energía.
Sin embargo, la pregunta plantea una cuestión interesante, así que permítanme reformular de la siguiente manera: “¿Por qué podemos gastar energía para cambiar nuestra velocidad de desplazamiento a través del espacio, pero no parece que podemos hacer lo mismo con nuestra velocidad de desplazamiento ¿a través del tiempo?” . O aún más sucintamente: “¿Qué determina nuestra velocidad en la dimensión del tiempo?”
Para responder a esta pregunta, debemos entender qué significa realmente “viajar a través de la dimensión del tiempo”. Intuitivamente, siempre debemos movernos a lo largo de la dimensión del tiempo, de lo contrario el tiempo no pasará. Sin embargo, ¿cómo se relaciona el movimiento a lo largo de la dimensión del tiempo con el movimiento a lo largo de las dimensiones espaciales? Vamos a tratar de entender esto. Requerirá algunas matemáticas, pero solo en el nivel secundario.
Primero, necesitamos entender el concepto de espacio-tiempo. El espacio-tiempo son las 3 dimensiones del espacio, más la 1 dimensión del tiempo, sumadas para formar un espacio-tiempo de 4 dimensiones. ¿Por qué alguien hacer eso, usted pregunta? La teoría de la relatividad dice que cada vez que queremos comparar dos observadores lo ven, y estos observadores estamos moviendo con respecto al otro, el espacio y el tiempo se confundan: el tiempo se “dilata” y el espacio se “contrajo”. ¿A dónde se fue el espacio “perdido” y de dónde vino el tiempo “extra”? Resulta que, en cierto modo, el espacio se “recicló” y se convirtió en tiempo. Raro, ¿eh?
Ahora, intentemos comprender cómo se mueve una partícula a través del espacio-tiempo. Para simplificar las matemáticas, voy a tirar dos dimensiones de espacio. Entonces, nuestro espacio-tiempo es bidimensional, con 1 dimensión de tiempo y 1 espacio. Llamaré a la coordenada de tiempo [matemáticas] t [/ matemáticas] y la coordenada de espacio [matemáticas] x [/ matemáticas].
Un truco sombrío que usaré aquí es establecer la velocidad de la luz en el vacío en uno : [matemáticas] c = 1 [/ matemáticas]. Debe preguntarse: ¿cómo puedo hacer eso? La velocidad de la luz es de aproximadamente 300,000,000 metros por segundo, por lo que establecerla en 1 parece una subestimación “bastante grande”. Ah, pero no dije que es 1 metro por segundo, ¡dije que es solo 1! Esto significa que estoy cambiando mis unidades de modo que un segundo ahora sea igual a 300,000,000 metros. A continuación, la relación de 300.000.000 metros por segundo es ahora “300.000.000 metros por 300.000.000 metros”, y todo lo que anula muy bien, dejando solamente el número puro 1. Si aún así no tiene sentido para usted, no se preocupe de ello. Solo estoy usando el truco [math] c = 1 [/ math] para hacer que las ecuaciones se vean más simples.
Así que ahora el espacio-tiempo puede visualizarse como un simple diagrama 2D, con el eje horizontal representando el espacio y el eje vertical representando el tiempo:
Este es un diagrama con dos ejes, por lo que un punto en el diagrama está representado por dos números, [math] t [/ math] y [math] x [/ math]. Los reunimos en un objeto llamado vector , que se escribe así: [math] (t, x) [/ math]. Así, por ejemplo el punto en el origen de los ejes, con t [matemáticas] = 0 [/ math] y [matemáticas] x = 0 [/ math], será [matemáticas] (0,0) [/ matemáticas].
¿Cuál es la distancia entre dos puntos en este diagrama? La respuesta resulta ser un poco complicada. Puede recordar que en el espacio normal (euclidiano), la distancia entre dos puntos viene dada por el teorema de Pitágoras. En términos más técnicos, decimos que es la magnitud del vector que conecta los dos puntos. La magnitud del vector [matemáticas] (a, b) [/ math] es [matemáticas] \ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}} [/ math] como puede verse en el siguiente diagrama:
Sin embargo, en el caso del espacio-tiempo , que no es un espacio euclidiano, Resulta que Pitágoras se confundió un poco y ahora necesitamos un signo menos en lugar de un signo más:
A continuación, utilizaremos esta extraña noción de distancia para definir algo llamado tiempo apropiado . Su tiempo adecuado es solo el tiempo medido en su reloj de pulsera mientras se mueve. En general, será diferente del tiempo medido por alguien sentado, debido a la dilatación del tiempo. Rotulamos el tiempo apropiado con la letra griega [math] \ tau [/ math] (tau) y la definimos de la siguiente manera:
[matemáticas] \ Delta \ tau = \ sqrt {(\ Delta t) ^ {2} – (\ Delta x) ^ {2}}. [/ matemáticas]
Estas [matemáticas] \ Delta [/ matemáticas] significan la “diferencia”. Así que la diferencia en el momento adecuado [matemáticas] \ tau [/ matemáticas] es la raíz cuadrada de la diferencia en el tiempo [matemáticas] t [/ matemáticas] menos la diferencia en el espacio [matemáticas] x [/ matemáticas]. En otras palabras, es sólo la magnitud del vector [matemáticas] (\ Delta t, \ Delta x) [/ matemáticas] tal como se calcula con la versión del Teorema de Pitágoras en la que Pitágoras fue un borracho poco.
Sin embargo, esta raíz cuadrada es un poco alarmante: como probablemente sepa, no podemos tener nada negativo dentro de la raíz cuadrada, ¡de lo contrario, sucederán cosas malas! Afortunadamente, la relatividad viene al rescate. Primero, respondamos la siguiente pregunta: ¿cuál es la velocidad de una partícula? Es solo la derivada de la posición [matemáticas] x [/ matemáticas] con respecto al tiempo [matemáticas] t [/ matemáticas]:
[matemática] v = \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} t}. [/ math]
¿Qué significan las [math] \ mathrm {d} [/ math]? Son solo diferencias, como las [matemáticas] \ Delta [/ matemáticas] que usamos en la definición del tiempo apropiado. Así que escribamos en su lugar:
[Matemáticas] v = \ frac {\ Delta x} {\ Delta t}. [/ Matemáticas]
Ahora, ¿cuál es la velocidad más alta que puede alcanzar una partícula masiva, según la relatividad? Puede acercarse arbitrariamente a la velocidad de la luz, pero nunca más rápido. Pero dijimos antes que la velocidad de la luz es solo [matemática] 1 [/ matemática]. Entonces, el escenario más extremo que podemos tener (si estamos tan cerca de la velocidad de la luz que no podemos notar la diferencia) es
[Matemáticas] \ frac {\ Delta x} {\ Delta t} = 1. [/ Matemáticas]
Multiplicamos ambos lados por [math] \ Delta t [/ math] y obtenemos:
[matemáticas] \ Delta x = \ Delta t. [/ matemáticas]
Esto significa que
[Matemáticas] \ Delta \ tau = \ sqrt {(\ Delta t) ^ {2} – (\ Delta x) ^ {2}}. = 0 [/ matemáticas]
Entonces, en el peor de los casos, la cosa dentro de la raíz cuadrada es solo cero. ¡No puede ir por debajo de cero porque eso significará que la partícula se mueve más rápido que la luz! Al considerar este punto aparentemente técnico, en realidad también descubrimos un hecho interesante: una partícula que se mueve exactamente a la velocidad de la luz no tiene el tiempo adecuado. Pero no nos preocuparemos por esto, ya que solo tratamos con partículas masivas, y esas nunca podrán alcanzar la velocidad de la luz.
El siguiente paso es definir la velocidad espacio-temporal de la partícula. Esto generalmente se llama 4 velocidades (ya que el espacio-tiempo es generalmente 4 dimensiones) pero en nuestro caso tendremos que llamarlo 2 velocidades. La velocidad espacial [matemáticas] v [/ math] definimos anteriormente será llamado 1-velocidad.
¿Por qué necesitamos dos velocidades? Bueno, la velocidad 1 te dice qué tan rápido te estás moviendo en el espacio por unidad de tiempo. Esto es útil en los viejos y aburridos mecánica de Newton, pero no tanto en la relatividad. La razón es que, como ya hemos mencionado, el espacio y el tiempo mismos se mezclan, se contraía y dilatada. Necesitamos algún concepto de velocidad que lo tenga en cuenta. Este es el 2-velocidad.
Definimos la velocidad 2 en el espacio-tiempo de la misma manera que definimos la velocidad de un vector en el espacio: es la derivada del tiempo de los componentes individuales del vector. En el caso del espacio-tiempo, los componentes son [matemática] t [/ matemática] y [matemática] x [/ matemática]. Tomar la derivada con respecto a [math] t [/ math] no tiene mucho sentido, ya que en realidad es uno de los componentes. Esta es exactamente la razón por la que definimos el tiempo adecuado: ¡es una noción de tiempo que tiene en cuenta tanto el tiempo como el espacio! Entonces definimos la velocidad 2 [math] \ mathbf {u} [/ math] de la siguiente manera:
[math] \ mathbf {u} = \ left (\ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} \ tau}, \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ tau } \ right). [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que [matemáticas] \ vec {u} [/ matemáticas] es negrita porque es un vector. De acuerdo, esta ecuación parece un poco complicada. Pero todo lo que significa es que el primer componente mide el movimiento a lo largo de la coordenada del tiempo y el segundo componente mide el movimiento a lo largo de la coordenada del espacio.
Ahora, ¿qué podemos hacer con la velocidad de 2? ¡Mucho! Para empezar, consideremos una partícula en reposo. Eso significa que su posición en el espacio no está cambiando. Un derivado es la medida del cambio. Entonces la derivada de [math] x [/ math] debe ser cero:
[math] \ frac {\ mathrm {d} x} {\ mathrm {d} \ tau} = 0. [/ math]
¿Cuál es el momento adecuado? De nuevo, si [matemáticas] x [/ math] no está cambiando entonces la diferencia [matemáticas] \ Delta x [/ math] entre dos puntos siempre será igual a cero: [matemáticas] \ Delta x = 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, es el momento adecuado:
[matemáticas] \ Delta \ tau = \ sqrt {(\ Delta t) ^ {2} – (\ Delta x) ^ {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sqrt {(\ Delta t) ^ {2} -0} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ Delta t. [/ matemáticas]
En otras palabras, [matemáticas] \ Delta \ tau = \ Delta t [/ matemáticas] y por lo tanto:
[Matemáticas] \ frac {\ mathrm {d} t} {\ mathrm {d} \ tau} = \ frac {\ Delta t} {\ Delta \ tau} = 1. [/ Matemáticas]
La velocidad de 2 para una partícula en reposo es así:
[Matemática] \ vec {u} = \ left (1,0 \ right). [/ Matemáticas]
¡Eso fue fácil! Bien, entonces descubrimos cuál es la velocidad de 2 para una partícula en reposo , y resulta que no es cero . Qué significa eso? Bueno, recuerda la definición de la velocidad 2. El primer movimiento componente mide a lo largo de la coordenada temporal y el segundo componente mide el movimiento a lo largo del espacio de coordenadas. Por lo tanto, una partícula en reposo no se mueve a lo largo de la coordenada espacial (como se esperaba), pero sí se mueve a lo largo de la coordenada del tiempo.
Vamos a reiterar esta importante conclusión: Una partícula en reposo en el espacio todavía se mueve en la dirección del tiempo en el espacio-tiempo. No se necesita ninguna energía para hacerlo.
Básicamente, esto responde a la pregunta, pero podemos jugar un poco más con la velocidad 2 para tratar de entender lo que realmente significa. Naturalmente, estamos interesados en el cálculo de la velocidad 2 para partículas que no están en reposo. Su velocidad puede estar en cualquier lugar entre [matemáticas] 0 [/ matemáticas] (reposo) y [matemáticas] 1 [/ matemáticas] (velocidad de la luz), pero no puede ser exactamente [matemáticas] 1 [/ matemáticas] ya que las partículas masivas no puede los viajes por el espacio a la velocidad de la luz.
Te guardaré los detalles del cálculo, ya que son un poco desordenados. Voy a citar el resultado final. En el caso general, la velocidad de 2 es:
[math] \ mathbf {u} = (\ gamma, \ gamma v), [/ math]
donde [math] v [/ math] es la velocidad 1 y [math] \ gamma [/ math] es el factor de Lorentz , definido de la siguiente manera:
[matemáticas] \ gamma = \ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ {2}}}. [/ matemáticas]
Si enchufe en v [matemáticas] = 0 [/ math], es decir, una partícula en reposo, obtenemos [matemáticas] \ gamma = 1 [/ math] y por lo tanto [matemáticas] \ mathbf {u} = \ left (1, 0 \ right) [/ math] que es el 2-velocidad para una partícula en reposo, se calculó antes. Entonces, este resultado puede parecer extraño, pero al menos es consistente.
Una gráfica vale más que mil ecuaciones, así que aquí hay una gráfica de los dos componentes de la velocidad 2 como funciones de la velocidad 1:
¿Qué significa esto? La curva azul es el componente de la velocidad 2 a lo largo de la dirección del tiempo y la naranja es el componente de la velocidad 2 a lo largo de la dirección del espacio. Comenzamos a 1 velocidad [matemática] v = 0 [/ matemática], es decir, en reposo en el espacio. Esto nos da velocidad del espacio-tiempo solo a lo largo de la dirección del tiempo. A medida que aumentamos la velocidad 1, ambos componentes de la velocidad 2 también aumentan. A medida que el 1-velocidad se aproxima a la velocidad de la luz [matemáticas] v = 1 [/ math], ambos componentes de la 2-velocidad de aproximación infinito (este es el punto de que ambos parecen converger a al [matemáticas] v = 1 [ /matemáticas]).
La interpretación es la siguiente: no importa cuál sea su 1-velocidad en el espacio es, si tenemos en cuenta su hijo de 2 velocidad en el espacio-tiempo se entera de que siempre hay que tener un poco de velocidad “a través de la dimensión de tiempo”, además de la velocidad “a través del espacio dimensión”.
Vamos acabado con algo fresco. Intentaremos comprender la dilatación del tiempo en términos de movimiento a través del espacio-tiempo. Intuitivamente, la velocidad a la que “te mueves en el tiempo” debe decir qué tan rápido pasa el tiempo para ti, en comparación con un observador en reposo. La gráfica anterior muestra que cuanto más rápido te mueves por el espacio, más rápido te mueves a través del tiempo. Si usted está en reposo, se mueve a través del tiempo a una velocidad [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Entonces experimenta el tiempo igual que cualquier otro observador en reposo.
Ahora comienzas a moverte y tu velocidad a través del tiempo aumenta. Cuando su “velocidad de tiempo” es [matemática] 2 [/ matemática], ¡se mueve dos veces más rápido en el tiempo que un observador en reposo! Esto significa que por cada segundo que pasa por ti, dos segundos pasarán por un observador en reposo. Esto es exactamente lo que la dilatación del tiempo es! (De hecho, el factor [matemáticas] \ gamma [/ matemáticas] que colocamos en el primer componente de la velocidad 2 es exactamente el factor para la dilatación del tiempo).
En resumen:
1. “Velocidad a lo largo de la dimensión de tiempo” es una cantidad bien definida: es el componente de tiempo de la velocidad 2.
2. Usted no necesita ninguna energía de “viajar a través de la dimensión del tiempo”: su velocidad a lo largo de la dimensión temporal es siempre mayor o igual a [matemáticas] 1 [/ matemáticas], si desea o no.
3. La velocidad a lo largo de la dimensión temporal le dice a la velocidad de su reloj de garrapatas en comparación con un observador en reposo; que es lo responsable de la dilatación del tiempo.