¿Cómo se relacionan la dilatación del tiempo y la constancia de la velocidad de la luz?

Están directamente relacionados. Considere la velocidad constante de la luz para dos observadores en movimiento relativo. Si ambos observadores miden la misma velocidad de la luz, entonces sus medidas fundamentales deben ser diferentes. Eso significa que ambas medidas de distancia o tiempo son diferentes, de modo que la medida de la velocidad de la luz sigue siendo la misma. Considere una medida de la velocidad de la luz en dos cuadros en movimiento relativo: Cuadro a, c = x / t. Marco 2, c = s x / s t, donde el factor, s debe aplicarse tanto a las mediciones de distancia como a las de tiempo para que ambos observadores observen el mismo valor de c (usando unidades equivalentes de medición, por supuesto). Por lo tanto, sin recurrir a la derivación matemática de las ecuaciones de Lorentz para la relatividad especial, podemos ver que ambas mediciones de espacio y tiempo deben ser diferentes. Esta es la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo.

El argumento anterior también funciona para la Relatividad general, que también requiere que la velocidad de la luz sea invariante en un campo gravitacional. En este caso, podemos usar el principio de equivalencia para mostrar que la luz debe tomar una trayectoria curva en un campo gravitacional. Sin embargo, el camino que toma la luz debe ser el camino del menor tiempo. Un camino curvo solo puede ser el camino del tiempo mínimo si el espacio y el tiempo son curvos, de modo que cualquier otra trayectoria no sea el camino del tiempo mínimo. Por lo tanto, un objeto gravitante debe crear espacio adicional y tiempo adicional para que este sea el caso (que es equivalente a la contracción de la longitud y la dilatación del tiempo).

Es un resultado matemático directo de 2 observadores relativamente en movimiento a una velocidad v, midiendo la velocidad de la luz como una constante c.

Considere un fotón emitido por un observador O en el momento, sabemos que mide la velocidad de la luz igual a c. En su sistema de coordenadas, podemos escribir: x = ct

Considere un segundo observador O ‘moviéndose con velocidad v en relación con el observador O. Consideramos que O y O’ se cruzaron en t ‘= t = 0 y por lo tanto: x’ = ct ‘

[matemáticas] \ dfrac {x} {t} = \ dfrac {x ‘} {t’} = c [/ matemáticas] así [matemáticas] \ dfrac {x} {x ‘} = \ dfrac {t} {t’ } = \ gamma (v, c) [/ math] (pero en sistemas de coordenadas separados)

Ahora podemos expresar x en el sistema de coordenadas del observador O ‘yx’ en el sistema de coordenadas del observador O, por lo que debemos considerar la distancia vt y vt ‘entre los 2 sistemas de coordenadas. No hay ninguna razón por la cual (x y vt) o (x ‘y vt’) no deberían usar el mismo factor de escala, entonces:

[matemáticas] x = \ gamma (x ‘+ vt’) [/ matemáticas] según el observador O ‘, pero para O’ sabemos que x ‘= ct’

[matemáticas] x ‘= \ gamma (x-vt) [/ matemáticas] según el observador O, pero para O sabemos que x = ct

Sustituimos x = ct y x ‘= ct’

[matemáticas] ct = \ gamma (ct ‘+ vt’) = \ gamma (c + v) t ‘[/ matemáticas]

[matemáticas] ct ‘= \ gamma (ct-vt) = \ gamma (cv) t [/ matemáticas]

Debido a la simetría en t y t ‘podemos eliminar t y t’ si multiplicamos ambas ecuaciones entre sí:

[matemáticas] c ^ 2tt ‘= \ gamma (c + v) (cv) tt’ = \ gamma (c ^ 2-v ^ 2) tt ‘[/ matemáticas]

entonces [matemáticas] c ^ 2 = \ gamma ^ 2 (c ^ 2-v ^ 2) [/ matemáticas] y por lo tanto [matemáticas] \ gamma = \ dfrac {1} {\ sqrt {(1- \ dfrac {v ^ 2} {c ^ 2})}} [/ matemáticas]

y entonces, si sustituimos eso en la ecuación por t ‘, la dilatación del tiempo debido a la Relatividad Especial (por lo tanto, debido a la velocidad constante de la luz para todos los observadores) es:

[matemáticas] t ‘= \ dfrac {ct} {\ gamma (c + v)} = \ dfrac {t \ sqrt {c ^ 2-v ^ 2}} {c + v} = t \ sqrt {\ dfrac { cv} {c + v}} [/ matemáticas]

Poniendo esto en perspectiva: está claro que hay una paradoja aquí, porque O verá que el reloj de O ‘va más lento que su propio reloj, pero O’ también verá que el reloj de O va más lento. Esto no sucede necesariamente en la realidad. Ejemplo:

Un satélite GPS o una estación espacial que circunda la tierra tendrá dilatación del tiempo debido a 2 contribuciones. Son más altos en el campo gravitacional, por lo que sus relojes parecen ir más rápido, pero también se mueven rápido, por lo que sus relojes parecen ir más despacio. Resultado: podemos hacer que nuestro GPS funcione si conocemos la altitud y la velocidad, porque aplicamos ambos, por lo que ocurre la dilatación del tiempo debido a la velocidad. Pero el satélite o la estación espacial no ve la contribución de la velocidad de la Tierra según la relatividad especial, ve que nuestros relojes van más despacio debido a la gravitación y más rápido, donde la fórmula que mostré para la relatividad especial sugeriría más lento. Parece que hay un marco de referencia, en este caso tierra donde la fórmula simple es válida. Para el marco de aceleración, la compensación matemática para el marco de aceleración eliminará la paradoja. El satélite acepta que su reloj corre más lento.

Esto va en contra de los resultados para la relatividad especial con cuadros no acelerados, porque si haces los mismos cálculos del observador 0 ‘con velocidad (-v) para O (podemos, debido a la relatividad), entonces obtenemos la misma fórmula en ambas direcciones , por lo que la formulación de la relatividad especial no depende en este caso del marco de referencia.

Esto significa que la relatividad especial es solo así de simple para cuadros no acelerados.