Cuando Einstein publicó On the Electrodynamics of Moving Bodies , el documento en el que publicó Special Relativity, la transformación de Lorentz ya era una cosa: era la forma de transformarse entre cuadros en electromagnetismo. Si realmente quieres leer ese documento, es fácil de encontrar en Google.
Dicho esto, aquí se explica cómo derivar las transformaciones de Lorentz: comience con una métrica [matemática] \ eta _ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} -1 && 0 && 0 && 0 \\ 0 && 1 && 0 && 0 \\ 0 && 0 && 1 && 0 \\ 0 && 0 && 0 && 1 \ end {pmatrix} [ math] y vectores [math] x ^ {\ mu} = \ langle ct, x, y, z \ rangle [/ math]. Esto conduce a un elemento de línea [matemática] d \ tau ^ 2 = – \ eta _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} = c ^ 2dt ^ 2-dx ^ 2-dy ^ 2 -dz ^ 2 [/ matemáticas]. Dividiendo por [matemáticas] c ^ 2dt ^ 2 [/ matemáticas], tenemos [matemáticas] \ dfrac {d \ tau ^ 2} {dt ^ 2} = 1- \ dfrac {\ sum (dx ^ i) ^ 2} {c ^ 2 dt ^ 2} [/ matemáticas]. Porque [matemáticas] \ dfrac {\ sum (dx ^ i) ^ 2} {dt ^ 2} = v ^ 2 [/ matemáticas], [matemáticas] \ dfrac {d \ tau} {dt} = \ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} [/ math]. Al invertir y multiplicar las [matemáticas] d \ tau [/ matemáticas], encontramos que [matemáticas] dt = \ dfrac {d \ tau} {\ sqrt {1- \ frac {v ^ 2} {c ^ 2}} } [/ math], la transformación de Lorentz para el tiempo. Se pueden aplicar transformaciones similares a la distancia, el impulso y tal. Sus derivaciones se dejan como ejercicio para el lector.
Una forma más moderna de encontrar simetrías de una métrica general es utilizar la identidad de que la derivada de Lie de la métrica es cero. Entonces, al establecer [math] \ mathcal {L} _ {X} g _ {\ mu \ nu} = 0 [/ math], podemos encontrar las simetrías de la métrica, las transformaciones de Lorentz (para una métrica plana) incluidas. Una gran explicación de eso se puede encontrar aquí: http://www.physics.usu.edu/Wheel…
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