Las esferas exóticas comienzan a aparecer en 4 dimensiones.
La esfera n se define como el conjunto de puntos en el espacio real (n + 1) -dimensional con distancia 1 desde el origen. La 1-esfera es un círculo, la 2-esfera es lo que usualmente piensas como una esfera, la 3-esfera es más difícil de visualizar (¡pero genial! Aquí hay una forma de verla http: //en.m.wikipedia .org / wiki / H …).
Dado un espacio aleatorio, nos gustaría saber si es “equivalente” a una esfera. Pero los matemáticos tienen muchas nociones diferentes de equivalencia para espacios. Uno útil es el homeomorfismo , que captura todas las propiedades topológicas del espacio. Una esfera es homeomorfa al exterior de un cubo o una pirámide, pero no a una rosquilla. Una noción más fuerte es el difeomorfismo , que requiere que los espacios tengan la misma estructura lisa , por lo que cosas como las distancias y los ángulos coinciden en cierto sentido, y puede hacer cálculos en los espacios con los mismos resultados.
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Para n = 1,2,3,5,6, cualquier espacio homeomorfo a la n-esfera estándar también es diffeomorphic a él. Solo hay un tipo de esfera en esas dimensiones. Para n = 7, hay 28 estructuras lisas diferentes en la esfera n. Estas se llaman “esferas exóticas”. Puede encontrar tablas que enumeran el número de esferas exóticas en cada dimensión (una se da aquí http://en.m.wikipedia.org/wiki/Exotic_sphere); La progresión es muy caótica. Pero la parte más loca es que no tenemos idea de cuántas exóticas 4 esferas hay. 4 resulta ser la dimensión más difícil para este problema. ¡Ni siquiera sabemos si es un número finito o infinito!
