Spin no es un “efecto relativista (Poincaré)”. Este es un mito recurrente que, desafortunadamente, todavía se propaga en introducciones elementales a la QM relativista.
Primero, definamos más precisamente la noción suelta de “girar es un efecto relativista”. Sería algo como esto: ” solo la QM relativista (Poincaré) proporciona un marco en el que el giro puede predecirse realmente a partir de los primeros principios (covarianza de Poincaré, en particular)”. Al menos esta es una de las encarnaciones de este mito que he visto y que, en este caso particular, se puede demostrar que es falsa.
Veamos. En los tratamientos elementales estándar de QM no relativista, el momento angular orbital se introduce primero “cuantizando” la definición clásica [matemática] \ overrightarrow {L} = \ overrightarrow {r} \ times \ overrightarrow {p} [/ math], es decir , tomamos el espacio de Hilbert [matemáticas] L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {3}) [/ matemáticas] y reemplazamos la posición clásica y el momento en esa expresión por los cuánticos, [matemáticas] \ hat { r} _ {i} = multiplicar \, por \, x_ {i} [/ math] y [math] \ hat {p} _ {j} = – i \ frac {\ partial} {\ partial x_ {j} } [/matemáticas]. Obtenemos los operadores estándar de momento angular orbital, que satisfacen las conocidas relaciones de conmutación (que no son más que una representación del álgebra de Lie del grupo Lie de rotación [math] SO (3) [/ math]).
- La teoría del error realmente tiene sentido para mí. Hay muchas cosas que las personas piensan que existen, suponen que sí, pero nunca han pensado en lo que podría ser. Si se pudiera describir la mecánica cuántica, ¿por qué no cualquier otro concepto?
- En las mediciones de bomba-sonda de dinámica ultrarrápida, ¿por qué necesitamos excitar moléculas con un pulso de bomba en primer lugar?
- ¿Cuál es un ejemplo de un sistema cuya función de onda sería de paridad mixta?
- ¿Qué son las dinámicas hamiltonianas?
- ¿Cómo podemos resolver mejor el problema de los resultados definitivos en la mecánica cuántica?
Alternativamente, podemos introducir la siguiente representación unitaria reducible de [matemática] SO (3) [/ matemática] en [matemática] L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {3}) [/ matemática]: [matemática] \ left [\ hat {\ mathrm {U}} _ {R} f \ right] (\ overrightarrow {x}) = f (R ^ {- 1} \ overrightarrow {x}) [/ math], donde [math ] R [/ math] es una matriz de rotación. Los generadores infinitesimales (a través del teorema de Stone) de esta representación son precisamente los operadores estándar de momento angular orbital presentados anteriormente. Esto explica por qué obtenemos la representación de álgebra de Lie (las conocidas relaciones de conmutación) y también da una buena definición general del momento angular: dada una representación del grupo de rotación, el momento angular se define como los generadores infinitesimales de esta representación.
Pero sabemos que hay más: el experimento de Stern-Gerlach muestra que también hay un momento angular intrínseco, llamado giro, modelado por las matrices de giro de Pauli. El momento angular total es la suma de estos dos tipos de momento angular. También sabemos que las matrices de Pauli son en realidad los generadores infinitesimales de la representación unitaria irreductible trivial (la identidad) de [math] SU (2) [/ math] (la cubierta universal del grupo de rotación) en [math] \ mathbb { C} ^ {2} [/ matemáticas]; entonces, podemos ver el momento angular total como el generador infinitesimal de la siguiente representación de [math] SU (2) [/ math] en [math] L ^ {2} (\ mathbb {R} ^ {3}, \ mathbb {C} ^ {2}) [/ math]: [math] \ left [\ hat {\ mathrm {U}} _ {B} f \ right] (\ overrightarrow {x}) = Bf (R_ {B} ^ {- 1} \ overrightarrow {x}) [/ math], donde [math] B \ en SU (2) [/ math] y [math] R_ {B} [/ math] es la matriz de rotación asociada a ella por el mapa de cobertura.
Todo esto es muy bueno, pero todo se hizo “a mano”, no tenemos idea de por qué el momento angular tiene que definirse en términos de esta representación particular de [matemáticas] SU (2) [/ matemáticas], que se divide en Dos tipos diferentes de momento angular.
Vamos a Poincaré QM ahora. Es bien sabido que al tratar de formular una ecuación de onda relativista de primer orden, obtenemos la ecuación de Dirac, que es naturalmente covariante bajo la siguiente acción del grupo [math] SL (2, \ mathbb {C}) [/ math] ( la cubierta universal del grupo de Lorentz adecuado): [matemáticas] \ izquierda [\ hat {\ mathrm {U}} _ {A} \ psi \ derecha] (x) = \ varphi (A) f (L_ {A} ^ {-1} x) [/ math], donde [math] A \ en SL (2, \ mathbb {C}) [/ math], [math] L_ {A} [/ math] es el asociado (por el mapa de cobertura) transformación adecuada de Lorentz y
[matemáticas] \ varphi (A) = \ left (\ begin {array} {cc} A ^ {\ dagger-1} & 0 \\ 0 & A \ end {array} \ right) [/ math]
Como [math] SU (2) [/ math] es un subgrupo de [math] SL (2, \ mathbb {C}) [/ math], y para este subgrupo [math] A ^ {\ dagger-1} = A [/ math], si restringimos la representación anterior al subgrupo, obtenemos, a través de [math] \ varphi (A) [/ math], una representación doble (porque estamos usando los hiladores de Dirac) de la representación unitaria irreductible trivial de [math] SU (2) [/ math] mencionado anteriormente, es decir, ¡obtenemos spin! (1/2 vuelta, para ser precisos).
Lo que sucedió aquí es lo siguiente: introdujimos una nueva noción, la del sistema cuántico covariante. Dado el grupo de relatividad de un espacio-tiempo, un sistema cuántico covariante (bajo ese grupo) es un sistema cuántico genérico en el que este grupo actúa como simetrías en el espacio de Hilbert correspondiente (en esta respuesta doy la definición rigurosa: ¿qué quieren decir los físicos cuando ¿decir que una partícula es un elemento de una representación irreducible del grupo de simetría?). Entonces, terminamos con la tarea de clasificar todas las formas posibles y diferentes en que el grupo puede actuar como simetrías en un sistema cuántico; En este sentido, clasificamos todos los posibles sistemas covariantes para ese grupo. Hay teoremas matemáticos muy poderosos que nos permiten hacer esto.
Para el caso del grupo de Poincaré, estos teoremas de clasificación nos dan todas las representaciones posibles del grupo de Poincaré (la asociada a la ecuación de Dirac es, por supuesto, una de ellas; ¡pero también el caso del spin cero relativista, la partícula escalar! que también satisface una ecuación de onda relativista de primer orden cuando se escribe en términos de hiladores de tensor antisimétricos). Para la parte correspondiente al grupo de rotación, todas estas representaciones se dividen en un momento angular intrínseco y orbital. Entonces, si nuestro “primer principio” es la covarianza bajo el grupo de Poincaré, entonces los teoremas de clasificación dan una explicación teórica muy poderosa del giro como consecuencia / predicción de este principio.
¡Pero entonces parece que el efecto es un efecto relativista!
¡No tan rapido!
Hemos sido muy injustos con el régimen no relativista; aplicamos principios muy claros al caso de Poincaré, pero solo argumentos heurísticos al caso no relativista.
¿Qué sucede si aplicamos el mismo principio a la QM no relativista? es decir, si consideramos sistemas cuánticos covariantes pero ahora bajo el grupo Galilei ?
Si ejecutamos los mismos teoremas de clasificación, también obtenemos que, para la parte de momento angular, todas las representaciones posibles se dividen en intrínsecas y orbitales. Entonces, los mismos principios y argumentos que probaron la aparición del spin en el caso de Poincaré, también prueban la aparición del spin cuando se aplica al caso de Galilei.
Por lo tanto, es falso que ” solo la QM relativista (Poincaré) proporciona un marco en el que el giro realmente se puede predecir a partir de los primeros principios (covarianza de Poincaré, en particular)”.
En cambio, el spin es una propiedad genérica de los sistemas cuánticos covariantes.
