La función de onda es solo una solución a la ecuación de Schrödinger. Solo me enfocaré en la forma independiente del tiempo en una dimensión que parece
[matemáticas] E \ psi (x) = \ left (\ frac {- \ hbar ^ {2}} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} -V (x) \ right) [\ psi (x)] [/ matemáticas]
Esto es solo un problema de juguete, pero muestra los conceptos básicos para encontrar la función de onda. Imagine una partícula atrapada entre dos paredes (puede llamar a estas barreras de potencial infinito) en x = 0 yx = a, y 0 potencial en el medio. Si x a, entonces [matemática] V (x) = \ infty [/ matemática] La función de onda debe ser normalizable, lo que significa que la integral de la función de onda en todo el espacio debe ser igual a 1 porque la función de onda ( aproximadamente) representa una distribución de probabilidad. Si 0 <x <a, entonces V (x) = 0, entonces la ecuación de Schrödinger se convierte en
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[matemáticas] E \ psi (x) = \ frac {- \ hbar ^ {2}} {2m} \ frac {\ partial ^ 2} {\ partial x ^ 2} [\ psi (x)] [/ math]
Esta es solo una ecuación diferencial ordinaria que tiene una solución de la forma
[matemáticas] \ psi (x) = A sin (k_ {1} x) + B cos (k_ {2} x) [/ matemáticas]
(Para ver que es una solución, ¡solo intente tomar la segunda derivada!)
La función de onda en x = 0 yx = a es 0 y requerimos que sea continua, por lo que tiene la forma
[matemáticas] Un pecado \ izquierda (\ frac {n \ pi} {a} x \ derecha) [/ matemáticas]
El cuadrado de la función de onda representa una densidad de probabilidad que nos da
[matemáticas] \ frac {1} {A ^ {2}} = \ int_ {0} ^ {a} sin ^ {2} \ left (\ frac {n \ pi} {a} x \ right) dx [/ matemáticas]
Resolviendo para A, obtenemos la forma final de nuestra ecuación de onda:
[matemáticas] \ psi_ {n} (x) = \ sqrt {\ frac {2} {a}} sin \ left (\ frac {n \ pi} {a} x \ right) [/ matemáticas]
Tenga en cuenta que el número entero n puede cambiar, lo que nos da una función de onda correspondiente. Mirando nuevamente la ecuación de Schrödinger, después de insertar nuestra función de onda, tomando las derivadas y dividiendo por [math] \ psi (x) [/ math] (observe que la ecuación de Schrödinger es un problema de valor propio), encontramos que
[matemática] E_ {n} = \ frac {\ hbar ^ {2} n ^ {2} \ pi ^ {2}} {2m a ^ 2} [/ matemática].
Por lo tanto, las energías posibles se cuantifican mediante un número cuántico ny cada nivel de energía viene con una función de onda correspondiente. Este es el proceso fundamental para encontrar funciones de onda, pero los potenciales de la vida real en tres dimensiones son mucho más difíciles. De E&M, sabemos que el potencial de un ion de hidrógeno es
[matemáticas] V (r) = \ frac {e ^ {2}} {4 \ pi \ epsilon_ {0} r} [/ matemáticas]
El problema es esféricamente simétrico, por lo que deberíamos reemplazar la segunda derivada en la ecuación de Schrödinger con el laplaciano en coordenadas esféricas que no voy a pronunciar aquí. Resolver esa ecuación es un dolor, pero se puede hacer exactamente. Desafortunadamente, el ion hidrógeno es el único átomo para el cual se puede encontrar una función de onda exacta. Podemos encontrar otros haciendo aproximaciones al sistema físico (oscilador armónico) o aplicando principios variacionales o teoría de perturbaciones.
