¿Por qué las posiciones generalizadas y las velocidades son independientes en la mecánica lagrangiana?

Piense en un solo punto en una página. Tiene coordenadas de acuerdo con alguna cuadrícula que desea colocar en esa página como referencia. Ahora dibuja una flecha desde ese punto. Es probable que haya dibujado una flecha diferente a la que elegí dibujar, tal vez en un ángulo diferente y con una longitud diferente. Esta es tu velocidad. Lo ves; la posición; el punto de partida para un vector de velocidad; no tiene nada que ver con la dirección y la magnitud del vector de velocidad que desea dibujar. Por lo tanto, las dos entidades son independientes.

Por supuesto, si decides poner restricciones; como su punto debe seguir dentro de un “camino ranurado” como una bicicleta a lo largo de un carril para bicicletas en una autopista; entonces los vectores de velocidad no son tan independientes debido a las restricciones.

Puedes pensar; bueno, si tengo una ecuación para la posición en cualquier momento, t, entonces si diferencio con respecto al tiempo, entonces debo tener las velocidades = prueba de que las velocidades están realmente ligadas a la posición después de todo, por lo tanto, estas dos cantidades no son Realmente independiente. En realidad todavía lo son; siempre que no haya restricciones que vinculen los dos dinámicamente. Lo ves; tiene un número infinito de formas en que puede elegir una ecuación para vincular una posición a una ecuación en el tiempo. (Aquí está el punto en la página; entonces, ¿a dónde ir desde aquí? ¡Tu elección realmente!)

Considere una partícula de polen colocada en una jarra de agua tibia. Las posiciones posteriores en el tiempo son clásicamente ‘aleatorias’ debido al movimiento browniano. Esta libertad de tener esta asignación arbitraria de posiciones posteriores en el tiempo a su punto original equivale a decir ‘cualquier ecuación que elija para x (t) e y (t); los derivados con respecto al tiempo aún están bastante abiertos ‘. Así, nuevamente vemos la ‘independencia’ de las velocidades y posiciones; general o no en mecánica clásica.

En mecánica cuántica; esta ‘incertidumbre’ se vuelve mucho más fundamental a medida que la incertidumbre se vuelve verdaderamente fundamental. En mecánica clásica; la incertidumbre surge simplemente como resultado de la impracticabilidad de conocer y medir todas las velocidades (momentos) y posiciones con una precisión arbitraria y tener el cálculo ‘gruñido’ para resolver los emplazamientos diminutos de todo, desde un momento minúsculo hasta el siguiente. (Ese es el papel del lagrangiano, pero habría demasiadas ecuaciones diferenciales parciales vinculadas que asocian todas las partículas cercanas al movimiento browniano para que dicho sistema sea factible para el cálculo).

Espero que este pequeño pasaje ayude, por favor avíseme si aún no está seguro acerca de su pregunta.

Si se le da una trayectoria particular [matemática] q (t) [/ matemática], entonces la velocidad [matemática] \ dot q (t) [/ matemática] no es una cantidad independiente, como bien señala. Evidentemente, dada una función [matemática] q (t) [/ matemática] puede encontrar [matemática] \ dot q (t) [/ matemática] calculando la derivada.

Pero el enfoque de Lagrange a la mecánica fue comenzar definiendo una nueva función (que ahora llamamos “Lagrangiana”) cuyas variables independientes son posición [matemáticas] q [/ matemáticas], velocidad [matemáticas] \ punto q [/ matemáticas], y posiblemente también el tiempo [matemáticas] t [/ matemáticas]. Podemos hacer esto porque todavía no estamos eligiendo una trayectoria, y sin una elección particular de trayectoria, somos libres, en cualquier momento, de variar (o, en cualquier caso, de imaginar variar) tanto la posición como la velocidad, independientemente el uno del otro.

Lo profundo y fascinante (no lo demostraré aquí, pero puedes leerlo en cualquier libro de texto sobre mecánica clásica como nivel universitario intermedio), es que (para sistemas conservadores) las leyes de movimiento de Newton son equivalentes a la afirmación de que , de las infinitas trayectorias diferentes que un sistema podría tomar entre una [matemática] q (t_i) [/ matemática] y una [matemática] q (t_f) [/ matemática] final, en realidad toma la que extremiza ( muchos libros dicen “minimiza”, pero eso no es del todo correcto) la integral del lagrangiano con respecto al tiempo (una cantidad que ahora llamamos “acción”).

Ahora sabemos algo que Lagrange no sabía: que esto es así porque las leyes de Newton son una aproximación, válida para objetos grandes y de movimiento lento, de las reglas más fundamentales de la mecánica cuántica , según las cuales el sistema realmente muestrea todas las trayectorias posibles entre Posiciones iniciales y finales. Las probabilidades para las diversas trayectorias interfieren entre sí, y para los objetos grandes y de movimiento lento, lo que queda es principalmente la contribución de la trayectoria extrema (es decir, clásica).

Aquí puede ver cómo Richard Feynman (el primero en hacer, en estos términos, una declaración matemática precisa sobre esta relación entre la mecánica cuántica y la mecánica clásica) lo explicó a los estudiantes universitarios de física de Caltech: “El principio de la menor acción”.