Nadie es el experto de todos los PDE. Intentaré ayudar con algunos de ellos.
1. ¿Qué es “realmente” difícil en Navier-Stokes PDE?
Nadie demostró una unicidad y reagularidad de la solución (existencia y suavidad de Navier – Stokes). Simplemente hablando: si intenta resolver PDE, debe establecer algunas condiciones de su problema (principalmente: las condiciones límite). Y no tiene ningún método para reconocer que sus condiciones conducen a una solución correcta en general. Debe decir algo “adicional” como adivinar y, después de todo su trabajo en la resolución de PDE, debe verificar si su presunción es correcta. Por lo general, debe suponer que su solución es turbulenta o laminar. Puede asumir un flujo laminar y encontrar la solución. Pero debe verificar que su suposición sea correcta. En la mayoría de los casos no hay forma de mostrarlo. En el cálculo práctico, simplemente asume algunas propiedades sobre las turbulencias, luego diseña un modelo de forma aerodinámica (una aerodinámica es solo un ejemplo) y luego lo prueba en algún túnel de viento si el modelo tiene un comportamiento estimado. Si pregunta: ¿Por qué calcular si todavía necesitamos construir algunas pruebas? La respuesta es simple: cinco pruebas son más baratas que millones de pruebas.
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2. ¿Qué es simple en Navier-Stokes?
Bueno, simplemente no puede estar seguro acerca de su solución, pero esta propiedad no es algo que todos llaman “difícil”. Si tiene algunas suposiciones sobre la turbulencia, la resolución debería ser una especie de simple debido a miles de trucos conocidos (esta industria se aplica un poco más que la relatividad general). Sin embargo, no soy un experto en dinámica de fluidos y creo que todavía hay algunos ejemplos de problemas que son simplemente “difíciles”.
3. ¿Qué es simple en las ecuaciones de Einstein?
Tenemos una prueba de unicidad y regularidad de la solución. Si encontró alguna solución con la respuesta de las condiciones de contorno, su solución debe ser correcta. Así que puedes hacer muchos trabajos solo con tu lápiz y papel (¡sí!). Y también, esta propiedad nos brinda una forma única de encontrar soluciones. Puedes adivinarlo. Parece bastante poco práctico. En realidad, un enfoque muy común es simplemente escribir alguna solución y luego buscar lo que presenta esta solución. Se descubrieron muchas soluciones de gravedad alrededor de los discos mediante la inserción de alguna solución de simetría axial en Einstein eq. y después de eso buscas qué significa realmente esa solución.
4. ¿Qué es “realmente” difícil en las ecuaciones de Einstein?
Si está buscando una solución numérica, puede estar seguro de que su solución es única. Sin embargo, también hay un gogeyman llamado “inestabilidad”. Es como el clima. En algunos casos, hay un comportamiento que dice que pequeños cambios en los valores iniciales pueden predecir grandes diferencias en la solución final. Y la predicción de este comportamiento es bastante difícil en general. Las conocidas soluciones de Black Holes se derivan de la asunción del espacio-tiempo estatinario. Usted dice, si la solución debe representar algo como “estado final”, debe ser estacionaria. Y después de esta simplificación, el PDE es muy simple y nos da las soluciones de muchos tipos de agujeros negros (Schwarzschild, Reissner – Nordström, Majumdar – Papapetrou, Kerr, Kerr – Newman). En realidad, algunos de ellos (especialmente Kerr) no son tan simples pero todavía están en la categoría “problema resuelto”. Todo parece estar bien, pero hay un gran problema con la inestabilidad, excepto Schwarldschild. La solución de Kerr-Newmnan parece ser una solución bastante general y satisfactoria para BH (la singularidad es similar al tiempo, existe un “teorema sin pelo” que dice que no podrían existir más parámetros en caso estacionario, etc.) pero la inestabilidad sigue siendo un problema. Si arrojas algo a BH, solo pasa el horizonte y en algún lugar del centro puede explotar toda la solución (suena bastante crujiente, pero en realidad nunca observaremos este hecho en nuestro tiempo finito del universo si no lo hacemos) No decida caer en algunos BH. Todos los colapsos de BH deben permanecer en el futuro si permanecemos en el universo “externo”). Muchos físicos glorifican la solución de Schwarldschild por su estabilidad. Pero este no es el general. No se prevé que todos los casos de estrellas colapsadas permanezcan como “solución de vacío simétrico esférico”. Y también hay un problema en el centro con singularidad puntual que tiene un carácter espacial (es una buena razón para llamarlo un poco “poco físico”). La física teórica moderna de BH intenta explorar la estabilidad mediante métodos de perturbación. Debido a que el PDE de Einstein es demasiado duro sin una condición estacionaria, es posible encontrar la alma con cierta perturbación “pequeña”. Sin embargo, las matemáticas de BH son solo un breve ejemplo de las ecuaciones de Einstein. También hay muchos temas en estudio de cosmología u ondas gravitacionales.
5. ¿Qué pasa con la cromodinámica cuántica?
No me siento la persona adecuada para responder sobre este tipo de ecuaciones. No tengo experiencia con ellos.
