Abróchate el cinturón, porque esta será una respuesta bastante larga. Creo que si entiendes, al menos en un nivel básico, qué es la relatividad general, entonces entenderás por qué no podemos usar la geometría euclidiana.
Primero, permítanme presentarles un poco de notación nueva (es una notación estándar en física, pero supongo que no lo saben):
- [math] x ^ {\ mu} = \ langle -ct, r, \ theta, \ phi \ rangle [/ math] es el vector de posición estándar. A menos que diga lo contrario, trabajaremos en coordenadas esféricas. Recuerde que [math] \ mu [/ math] es un índice, no un exponente. Entonces, [matemáticas] x ^ 0 = ct, x ^ 1 = r [/ matemáticas], etc.
- [math] \ partial _ {\ mu} = \ frac {\ partial} {\ partial x ^ {\ mu}} [/ math], la derivada parcial con respecto a [math] x ^ {\ mu} [/ math] . Además, esto puede extenderse a parciales con respecto a coordenadas individuales, por ejemplo, [math] \ partial_1 = \ partial_r = \ frac {\ partial} {\ partial r} [/ math].
- [matemática] \ eta _ {\ mu \ nu} = \ begin {bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r ^ 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ end {bmatrix} [/ math] es el plano tensor métrico espacio-temporal. Así es como medimos la distancia [matemáticas] s [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] \ Delta s ^ 2 = \ eta _ {\ mu \ nu} \ Delta x ^ {\ mu} \ Delta x ^ {\ nu} = – c ^ 2 \ Delta t ^ 2 + \ Delta r ^ 2 + r ^ 2 \ Delta \ theta ^ 2 + r ^ 2 \ sin ^ 2 \ theta \ Delta \ phi ^ 2 [/ math] en plano tiempo espacial. Esto se llama el intervalo de línea. Para simplificar un poco las cosas, sabemos que, incluso en el espacio-tiempo curvo (en la métrica de Schwarzchild, es decir, que es la única métrica GR de la que vamos a hablar aquí), las variables angulares [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] y [matemáticas] \ phi [/ matemáticas] no se verán afectadas, podemos dejar que [matemáticas] \ Delta \ theta ^ 2 + \ sin ^ 2 \ theta \ Delta \ phi ^ 2 = \ Delta \ Omega ^ 2 .[/matemáticas]
- [math] g _ {\ mu \ nu} [/ math] es una generalización de [math] \ eta _ {\ mu \ nu} [/ math] en espacio-tiempo curvo.
Ahora, hablemos de la relatividad especial. La relatividad especial es lo que obtenemos cuando suponemos que el espacio-tiempo es plano (sin curvatura intrínseca), lorentziano (los signos de los términos en la métrica son (+, -, -, -) o (-, +, +, +)) , y hay una velocidad invariable (una velocidad, [matemática] c [/ matemática], que es la misma independientemente del movimiento del observador).
- ¿Puedes explicar la relatividad general y la existencia de ondas G intuitivamente?
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Esto tiene varias implicaciones importantes: primero, esto significa que las velocidades no se agregan como lo están en la física de pre-relatividad. Sin relatividad, la suma de dos velocidades [matemática] u [/ matemática] y [matemática] v [/ matemática] es simple [matemática] u + v [/ matemática]. Sin embargo, es fácil ver que esto no puede funcionar en la relatividad porque si tenemos, digamos, [matemática] u = v = c / 2 [/ matemática], la ingenua suma de velocidades daría una velocidad resultante de [matemática] c [/ math], lo que lleva a una contradicción. Entonces, en la teoría de la relatividad (puede encontrar todas las fórmulas que uso aquí derivadas de cualquier libro de texto introductorio de relatividad, por lo que no las derivaré aquí), tenemos que agregar velocidades de manera diferente, en lugar de [matemáticas] u + v [/ matemática], tenemos [matemática] \ displaystyle [/ matemática] [matemática] \ frac {u + v} {1 + uv / c ^ 2} [/ matemática], lo que significa que no hay dos más lentos que [matemática] Las velocidades de c [/ math] alguna vez se sumarán a [math] c [/ math] o más. Verifique esto usted mismo al conectar los valores de [math] u [/ math] y [math] v [/ math].
Además, significa que el tiempo y el espacio ya no son absolutos. Si el observador A está viajando [matemáticas] .9c [/ matemáticas] en relación con el observador B, y el observador B ve que el reloj del observador A avanza un minuto, el reloj del observador B habrá avanzado en [matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt { 1-v ^ 2 / c ^ 2}} = \ frac {1} {\ sqrt {1-.81}} = 2.29 [/ matemáticas] minutos. Esto se llama dilatación del tiempo, y el factor [matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt {1-v ^ 2 / c ^ 2}} = \ gamma [/ matemáticas]. Esto se llama transformación de Lorentz. Ahora podemos introducir la noción de tiempo apropiado, es decir, el tiempo que un observador mide en su propio marco de referencia. Representamos el tiempo apropiado con la letra griega [math] \ tau. [/ Math] De ahora en adelante, siempre usaremos [math] \ tau [/ math] para significar el tiempo apropiado y [math] t [/ math] para significar tiempo coordinado, es decir, el tiempo medido por un observador en su marco de referencia. También podemos agregar otra fórmula a nuestra lista: [math] \ frac {\ Delta t} {\ Delta \ tau} = \ gamma [/ math].
Pero, como dije anteriormente, ¡el espacio también es relativo! Si observamos una nave espacial de longitud [matemática] l [/ matemática] metros (en su marco de referencia) moviéndose con velocidad [matemática] v [/ matemática] relativa a nosotros, observamos que la nave es [matemática] \ frac {l } {\ gamma} [/ math] metros de largo en nuestro marco de referencia.
Llegamos a todas las fórmulas anteriores con lo que se llama invariancia de Lorentz. Es decir, el intervalo espacio-tiempo [matemáticas] \ Delta s ^ 2 = \ eta _ {\ mu \ nu} \ Delta x ^ {\ mu} \ Delta x ^ {\ nu} [/ matemáticas], como la velocidad de la luz, es exactamente el mismo sin importar en qué marco de referencia se mida. Por lo tanto, debería tener sentido que si [math] \ Delta r [/ math] se hace más grande (movimiento más rápido), entonces [math] \ Delta t [/ math] tiene para hacerse más pequeño (suponiendo que el movimiento esté en línea recta para que las coordenadas angulares [matemáticas] \ theta [/ matemáticas] y [matemáticas] \ phi [/ matemáticas] sean constantes).
Ahora que debe tener una idea decente de qué se trata la Relatividad Especial, pasemos al espacio-tiempo curvo. Debido a que ya no estamos en el espacio-tiempo plano, el intervalo de línea ya no se puede expresar con [math] \ Delta [/ math] (es decir, cambios arbitrariamente grandes en las coordenadas), sino con infinitesimales. Entonces, en lugar de [math] \ Delta s ^ 2 = \ eta _ {\ mu \ nu} \ Delta x ^ {\ mu} \ Delta x ^ {\ nu} [/ math], tenemos [math] ds ^ 2 = \ int g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu} [/ math]. Si dejamos [math] g_ {00} = \ alpha (r), \ g_ {11} = \ beta (r), [/ math] entonces el elemento de línea [math] ds ^ 2 = -c ^ 2 \ alpha (r) dt ^ 2 + \ beta (r) dr ^ 2 + r ^ 2d \ Omega ^ 2 [/ math]. ¿Qué significa esto? Bueno, significa que las “líneas rectas” ya no son rectas. Al menos, no en el sentido normal de “recta”. Porque la distancia [matemáticas] ds = \ int \ sqrt {-c ^ 2 \ alpha (r) dt ^ 2 + \ beta (r) dr ^ 2 + r ^ 2d \ Omega ^ 2} [/ math], tiene sentido que el camino más corto entre dos puntos sea un punto estacionario de la función anterior, ¿verdad? Bueno, si estamos encontrando el punto estacionario de un funcional (que denotamos con la letra [math] \ mathcal {L} [/ math]), deberíamos usar el cálculo de variaciones, específicamente en este caso, el Euler- Ecuación diferencial de Lagrange con el parámetro [math] \ sigma [/ math] definido como [math] \ mathcal {L} [/ math] [math] = \ frac {d \ tau} {d \ sigma} [/ math] [ matemática] (\ partial _ {\ alpha} \ mathcal {L} + \ frac {d} {d \ sigma} (\ frac {\ partial} {\ partial (\ partial x ^ \ alpha / \ partial \ sigma)}) \ mathcal {L} = 0) [/ math].
Al conectar [math] \ mathcal {L} [/ math] [math] = \ int \ sqrt {g _ {\ mu \ nu} dx ^ {\ mu} dx ^ {\ nu}} [/ math], encontramos que [matemáticas] \ frac {d ^ 2x ^ {\ mu}} {d \ tau ^ 2} + \ Gamma ^ {\ mu} _ {\ alpha \ beta} \ frac {dx ^ {\ alpha}} {d \ tau} \ frac {dx ^ {\ beta}} {d \ tau} = 0 [/ math], donde [math] \ Gamma ^ {\ mu} _ {\ alpha \ beta} = \ frac {1} { 2} g ^ {\ mu \ lambda} (\ partial _ {\ alpha} g _ {\ beta \ lambda} + \ partial _ {\ beta} g _ {\ lambda \ alpha} \ partial _ {\ lambda} g _ {\ alpha \ beta })[/matemáticas]. Esto se llama ecuación geodésica. Ahora mismo deberías sentir por qué esto no es geometría euclidiana normal. Después de todo, en el espacio plano, la segunda derivada de una línea recta es cero, pero aquí, ¡ese claramente no es el caso! Sin embargo, una geodésica sigue siendo el camino más corto posible entre dos puntos.
Por lo tanto, debería poder ver que, como consecuencia de que ya no se requiere que la métrica sea igual a la métrica de la relatividad especial, la distancia más corta entre dos puntos es una geodésica curva en lugar de una línea recta normal, que está bastante cerca de la línea métrica. definición de una geometría no euclidiana!
