Las ecuaciones de Freidmann son un conjunto de relaciones que describen el comportamiento de un universo que se supone homogéneo (se ve igual en todos los puntos) e isotrópico (se ve igual en todas las direcciones).
Estas ecuaciones relacionan la tasa de crecimiento de un universo con la materia y la curvatura contenida en él.
ANTECEDENTES
- ¿Cuál es la intuición detrás del coeficiente en la ecuación de Einstein [matemáticas] E = mc ^ 2 [/ matemáticas]?
- ¿Por qué Albert Einstein nombró su teoría de la gravedad relatividad general?
- ¿Por qué se necesita energía para que un objeto pase del reposo al movimiento (por qué hay energía cinética)?
- Si la luz puede verse afectada por la gravedad, ¿también puede verse afectada por la inercia?
- ¿Un agujero de gusano parece una esfera? Si no, ¿cómo se ve?
Se supone que el universo, como se indicó anteriormente, es homogéneo e isotrópico, y un fluido perfecto. Para un fluido perfecto, podemos mostrar cómo el tensor de energía de estrés es diagonal, y el fluido puede ser representado por solo dos variables: densidad y presión.
Para tal universo, asumimos una métrica simple de Freidmann-Lemaitre-Robertson-Walker.
[matemáticas] ds ^ 2 = c ^ {2} dt ^ {2} – a (t) ^ {2} dl ^ {2} [/ matemáticas]
donde [math] dl ^ {2} [/ math] es el elemento lineal del espacio, que puede representar un universo plano, uno curvado positivamente o uno curvado negativamente (basado en un valor de curvatura K que puede ser 0, 1 o -1 respectivamente).
En esto asumimos que nuestras coordenadas del espacio son fijas y la distancia crece por el factor a (t), como se ve arriba. Estos se llaman coordenadas comoving.
OBTENER LAS ECUACIONES
A partir de la métrica anterior, calculamos cantidades de curvatura que conforman el lado izquierdo de las Ecuaciones de relatividad general de Einstein. El lado derecho está representado por el tensor de energía de estrés.
Al resolver estas ecuaciones, obtenemos dos ecuaciones que relacionan la densidad, la presión y la curvatura con el factor de escala a (t).
[matemáticas] (\ frac {\ dot {a}} {a}) ^ {2} = \ frac {8 \ pi G \ rho} {3} – \ frac {k} {a ^ {2}} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {\ ddot {a}} {a} = \ frac {-4 \ pi G} {3} (\ rho + 3p) [/ matemáticas]
SIGNIFICADO Y USOS
- La primera ecuación da la relación de expansión en términos de densidad y curvatura. El LHS es el famoso parámetro H del Hubble, que es el factor de proporcionalidad en la Ley v = Hr de Hubble, que nos dice que las galaxias se alejan de nosotros a velocidades proporcionales a sus distancias.
- La segunda ecuación a menudo se llama la ecuación de aceleración, ya que relaciona la “aceleración” del factor de escala directamente con la densidad de la materia y la presión.
- Usando las ecuaciones de Freidmann, podemos resolver el factor de escala a (t) en presencia de varios tipos de componentes como la materia y la radiación en el universo. Las soluciones generan la dependencia del factor de escala en el tiempo y, por lo tanto, nos dicen cómo evoluciona el universo en épocas dominadas por diferentes grupos de componentes.
- Además, al establecer la curvatura igual a cero, podemos determinar una densidad crítica del universo. Si la densidad del universo es mayor que esa densidad crítica, la curvatura resultante es positiva, y el universo se cierra y el universo finalmente deja de expandirse. Si la densidad es menor que la densidad crítica, la curvatura es negativa, el universo está abierto.
- Acoplando esto con lo que se llama la ecuación de fluidos, también podemos resolver la evolución de la densidad (densidad de energía) en el universo a tiempo para diferentes componentes.
