He estado buscando las respuestas aquí. Me intrigó la suposición de que el anillo se comportará ya que toda la masa M se concentra en su centro. Creo que no es una suposición razonable en este caso, ya que la aceleración debida a la gravedad DISMINUIRÁ realmente a medida que el objeto m se acerque al centro del anillo, bajando a cero cuando el objeto esté justo en el centro.
Este no es el comportamiento de un anillo si su masa está en su centro.
En cualquier caso, comenzando con la ecuación fundamental para la fuerza de gravedad, obtengamos la fuerza ejercida por un pequeño segmento, dl, de la circunferencia del anillo L, que es
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L = 2 * pi * R.
La masa por unidad de longitud del anillo es M / L y se supone uniforme. Entonces, la fuerza de la gravedad es:
F = (G * m * (M / L) l) / r ^ 2, donde
r ^ 2 = y ^ 2 + R ^ 2, donde y es la altura de nuestro objeto sobre el anillo.
(Nadie parece haber visto esto como una simplificación, ya que no hay una raíz cuadrada de la que preocuparse aquí)
La aceleración a habría sido, en otras circunstancias,
a = F / m = (G * (M / L) l) / (y ^ 2 + R ^ 2)
Sin embargo, en este caso, esta fuerza está realmente en ángulo con respecto a la trayectoria de nuestro objeto m. Además, para cada segmento dl, habrá un segmento idéntico 180 grados opuesto, que cancelará el componente perpendicular al movimiento de nuestra masa. Entonces solo importa el componente y.
ay = un pecado (theta), donde
sin (theta) = y / sqrt (y ^ 2 + R ^ 2) o y * ((y ^ 2 + R ^ 2) ^ – (1/2))
Entonces, la aceleración que realmente importa es:
ay = (G * (M / L) l) * ((y ^ 2 + R ^ 2) ^ – 1) * y * ((y ^ 2 + R ^ 2) ^ – (1/2)) =
= (G * (M / L) l) * y * ((y ^ 2 + R ^ 2) ^ – (3/2))
Integrar sobre l para todo el anillo es simplemente reemplazar l con 2 * pi * R, o
ay = (G * M) * y * ((y ^ 2 + R ^ 2) ^ – (3/2))
Ahora, esta fórmula también es:
(d ^ 2 / dt) y = C * y * ((y ^ 2 + R ^ 2) ^ – (3/2))
donde G * M fue reemplazado por C, o C = G * M
Un problema aquí es que la aceleración en sí misma cambia con la distancia, por lo que nos vemos obligados a usar una ecuación diferencial de la forma
(d ^ 2 / dt) y – y = 0 (cero)
Por lo que he estado leyendo para estas EDO de segundo grado, es probable que no haya una respuesta cerrada a esto. Pero una forma de proceder podría ser que, en una ubicación específica, como este gráfico, suponga que la velocidad es 0 y el desplazamiento con referencia al centro del anillo es h. De las fórmulas anteriores, puede calcular la aceleración. Dado que, entonces, para un tiempo diferencial dt, se supone que esa aceleración es constante. Entonces, el desplazamiento diferencial dy1 es:
dy1 = – 1/2 ay (h) (dt) ^ 2, lo que significa que el objeto se acerca al centro, no más lejos.
El siguiente diferencial de tiempo sería dy2 = dy1 – 1/2 ay (h-dy1) (dt) ^ 2
y así.
Luego reemplace ay (y) con = C * y * ((y ^ 2 + R ^ 2) ^ – (3/2)) y realice esta integración. No estoy muy seguro de cómo proceder desde allí, excepto numéricamente. Necesito desempolvar mis integrales y demás.
