¿Cómo descubrieron que la fuerza centrípeta dirige el objeto al centro de rotación?

La aceleración / fuerza centrípeta se define como la aceleración / fuerza dirigida radialmente hacia el centro de un círculo. Sin embargo, creo que se pregunta cómo podemos deducir que esto es cierto con nada más que matemáticas en el caso de un círculo. En realidad es bastante fácil:

Dejar

[matemáticas] X (t) = [/ matemáticas]

ser la función de posición de una partícula – un círculo de radio 1. La derivada de la posición con respecto al tiempo es la velocidad:

[matemáticas] \ frac {d} {dt} X (t) = V (t) = <- sin (t), cos (t)> [/ matemáticas]

Y la derivada de la velocidad con respecto al tiempo es la aceleración:

[matemáticas] \ frac {d} {dt} V (t) = a (t) = <- cos (t), - sin (t)> [/ matemáticas]

que es la función de posición original [matemática] X (t) [/ matemática] multiplicada por -1.

Entonces, en el caso de un círculo, siempre que el vector de posición dado por la función de posición apunte a lo largo del radio lejos del centro, el vector de aceleración se apuntará exactamente en la dirección opuesta, a lo largo del radio pero hacia el centro. Como siempre se da el caso de que [matemática] X (t) [/ matemática] apunta a lo largo del radio lejos del centro, [matemática] a (t) [/ matemática] siempre debe apuntar a lo largo del radio hacia el centro.

Si. Se puede demostrar matemáticamente. Entonces, considere que una partícula se mueve en una trayectoria circular (por lo tanto, el radio es constante) de radio r. La posición de la partícula se da en términos de coordenadas polares [matemáticas] (r, \ theta) [/ matemáticas]. Considere dos conjuntos ortogonales de vector unitario, radial y tangencial [matemáticas] (\ hat {r}, \ hat {\ theta}) [/ math]; muy similar a [matemáticas] i [/ matemáticas] y [matemáticas] j [/ matemáticas] en el sistema de coordenadas cartesianas. En cualquier instante, [math] \ hat {r} [/ math] puede escribirse como

[matemáticas] \ hat {r} = \ cos (\ theta) \ hat {i} + \ sin (\ theta) \ hat {j} [/ math]

El otro vector que es ortogonal al anterior puede escribirse como

[matemáticas] \ hat {\ theta} = \ cos (90+ \ theta) \ hat {i} + \ sin (90+ \ theta) \ hat {j} = – \ sin \ theta \ hat {i} + \ cos \ theta \ hat {j} [/ math]

Si diferencia los dos vectores con respecto al tiempo, obtendrá

[matemáticas] \ dot {\ hat {r}} = \ omega \ hat {\ theta} [/ matemáticas]

y

[matemáticas] \ dot {\ hat {\ theta}} = – \ omega \ hat {r} [/ matemáticas]

La posición de la partícula se puede escribir como (en el sistema de coordenadas polares)

[matemáticas] \ vec {r} = r \ hat {r} [/ matemáticas]

Dado que la partícula se mueve en una trayectoria circular, su posición cambiará, por lo tanto, la coordenada polar cambiará y, por lo tanto, los dos nuevos vectores unitarios. Dejemos diferenciar el tiempo de dos vectores wrt luego obtenemos

[matemáticas] \ dot {\ hat {r}} = r (- \ sin \ theta \ hat {i} + \ cos \ theta \ hat {j}) \ frac {d \ theta} {dt} [/ math]

[matemáticas] \ dot {\ hat {r}} = r \ omega \ hat {\ theta} [/ math]

Diferenciación una vez más, obtenemos

[matemáticas] \ dot {\ dot {\ hat {r}}} = r \ omega \ frac {d \ hat {\ theta}} {dt} + r \ frac {d \ omega} {dt} \ hat {\ theta} [/ matemáticas]

[matemáticas] a = -r \ omega ^ 2 \ hat {r} + r \ alpha \ hat {\ theta} [/ math]

El primer término de la ecuación anterior da aceleración centrípeta que se dirige hacia adentro (hacia el centro representado por signo negativo) mientras que el segundo término da aceleración tangencial.

Definimos el movimiento centrípeto de esa manera.

Un objeto cuya velocidad es siempre perpendicular a su aceleración sufrirá un movimiento centrípeto. así definimos el movimiento centrípeto.