Si desea aprender los espacios de Hilbert desde un punto de vista matemático, desafortunadamente parece que hay un largo camino por recorrer. Si no ha tomado un curso de análisis, absolutamente necesita ese conocimiento. (No necesariamente diciendo que necesita tomar el curso, pero debe hacer el equivalente, ya sea por estudio independiente u otra cosa).
Luego, debe aprender el análisis funcional básico. Solo entonces puedes comenzar significativamente a estudiar los espacios de Hilbert.
Pero hay buenas noticias. Si realmente solo quieres aprender lo suficiente sobre los espacios de Hilbert para explorar QM, entonces no necesitas un fondo matemático tan sólido. De hecho, afirmo valientemente que ni siquiera necesita saber qué es un espacio de Hilbert … solo que existe esta noción perfectamente natural llamada producto interno, y se usa para … mmm … hacer cosas de operador en funciones de onda o algo así.
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Quizás una buena analogía es esta: en algún lugar se aprende que el hockey se juega en una pista de hielo. Quieres jugar hockey. Eso no significa que tengas que convertirte en un experto en cómo construir una pista de hielo … solo tienes que saber cómo usarla.
Los espacios de Hilbert son las pistas de hielo del hockey de mecánica cuántica.
