Para un equilibrio entre el arrastre dependiente de la velocidad y la fuerza gravitacional, el análisis dimensional nos dice que el radio requerido es
[matemáticas] r = (const) \ veces v ^ 2 / g \ aprox (const) \ veces 64 [/ matemáticas] m,
una sobreestimación porque omite la relación de densidad entre agua y titanio.
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Más detalladamente, a velocidad terminal, la fuerza gravitacional [matemática] Mg = \ frac {4} {3} \ pi r ^ 3 \ rho_T \, g [/ math] es igual a la fuerza de arrastre [matemática] \ frac {1} { 2} [/ matemáticas] [matemáticas] \ rho_ {sw} v ^ 2 C_d \ pi r ^ 2 [/ matemáticas], entonces
[matemáticas] r = \ frac {3} {8} \, C_d \, (\ rho_ {sw} / \ rho_T) \, (v ^ 2 / g) [/ matemáticas]
Al conectar [math] \ rho_T / \ rho_ {sw} = 4.506 / 1.029 = 4.379 [/ math] y [math] C_d \ aproximadamente 0.5 [/ math] para un alto flujo de números de Reynolds, da [math] r = 2.73 [/ matemáticas] m. Las velocidades de la autopista no me sorprenden por un objeto [matemático] M = 384 [/ matemático] de este tamaño que cae libremente en el agua.
Editado para algunas ideas posteriores: descuidé la fuerza de flotabilidad del gradiente de presión en un fluido bajo gravedad, una buena aproximación en el aire pero no excelente en el agua. De hecho, el peso del agua de mar desplazada debe sustraerse de la fuerza gravitacional en la esfera, por lo que debemos usar [matemáticas] (\ rho_T- \ rho_ {sw}) / \ rho_ {sw} = (4.506-1.029) / 1.029 = 3.379 [/ matemáticas], dando [matemáticas] r = 3.54 [/ matemáticas] m (y [matemáticas] M = 837 [/ matemáticas] toneladas métricas). Por otro lado, busqué la viscosidad del agua y el número de Reynolds a un flujo de agua de 25 m / s, y resultó que [matemática] Re \ aproximadamente 70,000,000 [/ matemática] que [matemática] C_d \ aprox 0.3 [/ matemática ], por ejemplo, Arrastrar una esfera, que nos baja a [matemáticas] r = 2.1 [/ matemáticas] m. Por otro lado (?), Si la esfera es significativamente aproximada, [matemática] C_d [/ matemática] vuelve a ser más como 0.4, etc. El mundo real es un lugar complicado; una respuesta final razonable es “radio entre 2 y 3 m dependiendo de las condiciones”.
