¿Por qué es necesaria la parte imaginaria en la ecuación de Schrodinger?

Hacia el final de mi publicación Un matemático trastornado hace mecánica cuántica, deduje la ecuación de Schrödinger. Sin embargo, el resultado fue el siguiente: si quieres que la evolución del tiempo sea

1. aditivo: es decir, evolucionar en el tiempo por un tiempo [matemático] t [/ matemático] y luego por un tiempo [matemático] s [/ matemático] debería ser lo mismo que evolucionar en el tiempo por un tiempo [matemático] t + s [ /matemáticas],
2. lineal: es decir, un estado en evolución temporal [matemática] \ psi + \ phi [/ matemática] debe ser igual a la suma de los estados evolucionados en el tiempo [matemática] \ psi [/ matemática] y [matemática] \ phi [/matemáticas],
3. continuo
4. invertible , es decir, debería ser posible evolucionar en el tiempo por un tiempo [math] -t [/ math]. El tiempo evolucionando por un tiempo [matemático] t [/ matemático] y luego por un tiempo [matemático] -t [/ matemático] es lo mismo que evolucionando el tiempo por un tiempo [matemático] 0 [/ matemático], que es solo el operación de identidad que no hace nada, y
5. preservar la probabilidad , es decir, los eventos que fueron mutuamente excluyentes deben ser mutuamente excluyentes después y los estados no se escalan por algún factor extraño,

entonces hay realmente una forma posible de hacer esto. Si el estado inicial es [math] \ psi [/ math], entonces su estado evolucionado en el tiempo después de [math] t [/ math] será

[matemáticas] \ displaystyle \ psi (t) = U (t) \ psi = e ^ {- itH} \ psi \ tag * {} [/ matemáticas]

para algún operador autoadjunto [math] H [/ math] en el espacio de Hilbert (aquí tomamos la convención habitual de que [math] \ hbar = 1 [/ math]). Los operadores autoadjuntos corresponden a cantidades observables en la mecánica cuántica, por lo que es razonable suponer que [matemática] H [/ matemática] es el operador de energía: experimentos y consideraciones sobre cómo la mecánica cuántica debería reducirse a la mecánica newtoniana en el límite a gran escala confirmar esto.

Pero a partir de aquí, la ecuación de Schrödinger es solo un salto y un salto. Tenga en cuenta que

[matemáticas] \ begin {align *} \ frac {d} {dt} \ left (\ psi (t) \ right) & = \ frac {d} {dt} \ left (e ^ {- itH} \ psi \ derecha) \\ & = -iH e ^ {- itH} \ psi \\ & = -iH \ psi (t). \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Al reorganizar y volver a colocar [math] \ hbar [/ math] (lo que podemos hacer sin ambigüedades mediante análisis dimensional, es decir, solo hay una forma en que podríamos ponerlo para que las unidades funcionen), obtenemos lo familiar

[matemáticas] \ displaystyle i \ hbar \ frac {d} {dt} \ left (\ psi (t) \ right) = H \ psi (t). \ tag * {} [/ math]

Entonces, realmente, simplemente no había otra manera de que la ecuación pudiera verse, tan pronto como aclaramos el hecho de que nuestro espacio de estado era un espacio complejo de Hilbert. Ahora, por qué es un espacio complejo de Hilbert es una muy buena pregunta: en la publicación mencionada anteriormente, creo que hice un buen trabajo al argumentar por qué la forma más natural de interpretar los datos empíricos era decir que el espacio de estado tenía que ser un Espacio de Hilbert. Desafortunadamente, no pude dar una muy buena razón de por qué necesariamente tiene que ser un espacio complejo de Hilbert en lugar de un espacio real de Hilbert. Lo mejor que puedo ofrecer en ese frente es que un espacio real de Hilbert no ofrecería los mismos grados de libertad que observamos en la forma en que dos estados pueden estar en superposición: solo un espacio complejo de Hilbert ofrece el rango de posibilidades observado.

Lo que hizo Schrödinger fue expresar la fase de la onda en forma exponencial, que requiere un número complejo. Si lees el libro de Schiff sobre mecánica cuántica, él dice que si expresas la fase como una función senoidal, la mecánica cuántica no funciona. Por lo tanto, se adopta la forma exponencial. Me parece que los argumentos sobre la probabilidad son erróneos porque Schrödinger llegó a su ecuación antes de que Born interpretara ΨΨ * como la probabilidad, y se sabía que la ecuación “funcionaba”.

Uno puede representar una onda matemáticamente como un número complejo. Sin embargo, no lo piense como una parte real e imaginaria, piense en la representación polar como una magnitud y fase. La multiplicación por i mantiene la misma magnitud pero desplaza la fase en 90 grados.

Sugerencia: Para un oscilador clásico en resonancia, lo que lo impulsa y la respuesta están 90 grados fuera de fase. Por ejemplo, si cuelgas algo en una cuerda que sostienes para hacer un péndulo, puedes hacer que el péndulo se balancee moviendo tu mano hacia adelante y hacia atrás. En resonancia, su mano y el péndulo están desfasados ​​90 grados. (¡Intentalo!)

La ecuación de Schrodinger describe una “amplitud” de probabilidad y, como tal, la función de onda debe satisfacer un criterio de normalización que

[matemáticas] 1 = \ int dx p (x, t) = \ int dx \ psi ^ * (x, t) \ psi (x, t) [/ matemáticas]

para todos los tiempos t . En consecuencia, uno requiere que [math] \ psi (x, t) [/ math] y [math] \ psi (x, t ‘) [/ math] estén relacionadas por transformación unitaria (traducción del tiempo si lo desea)

[matemáticas] \ psi (x, t ‘) = \ hat U (t’, t) \ psi (x, t) = e ^ {- i \ hat H (t’-t)} \ psi (x, t )[/matemáticas]

donde H es un operador hermitiano (que tiene unidades de 1 / t). Tomar la derivada del tiempo da la ecuación de Schrodinger dependiente del tiempo.

[matemáticas] i \ partial_t \ psi = H \ psi [/ matemáticas]

El número imaginario es una herramienta esencial para que el observador dimensional inferior explique el fenómeno físico dimensional superior. Es útil explicar el intercambio de energía entre dos polaridades cuando estás confinado a una dimensión real inferior. Cuando cualquier energía se transforma entre dos polaridades, aparece un número imaginario. Cuando se pierde energía en la dimensión real, la energía perdida necesariamente es arrastrada por la dimensión superior para que la energía total permanezca constante, es decir, E = t + u, cuando se pierde electrostática. la energía potencial es simplemente arrastrada por la energía cinética de la onda. La velocidad a la que pierde la energía que está experimentando es simplemente transportada en forma de energía cinética, es decir, imaginaria para su dimensión real, por lo tanto, los números imaginarios son herramientas esenciales en explicando la energía que salta de la dimensión inferior a la dimensión superior con respecto al observador confinado a la dimensión inferior. Por lo tanto, en cualquier caso donde observe energía bailando desde la dimensión inferior, entonces el número imaginario se convierte en la aguja necesaria para tejer la dimensión inferior a la dimensión superior, por lo tanto, en la ecuación de onda de Schrodinger aparece cualquier número imaginario de ecuación de onda general. Además, para un observador de menor dimensión, el número imaginario es necesario Una herramienta para explicar la imagen completa del observador de dimensiones superiores. Es como un cartel que muestra al nuevo receptor.

No soy físico, pero desde una perspectiva de ingeniería, puedo ver fácilmente por qué podría tener una parte imaginaria.

La ecuación de Schrodinger es una ecuación de onda y, por lo tanto, similar a la fase en señales eléctricas u ondas electromagnéticas, para representar el ángulo de fase de la onda, se puede representar fácilmente usando un exponencial imaginario.

Aquí hay muchas otras respuestas exhaustivas, así que daré la respuesta rápida y simple que le daría a alguien en una conversación.

La ecuación de Schrodinger en realidad se puede escribir y resolver muy bien como un sistema acoplado de dos ecuaciones diferenciales. Esto permite más complejidad de la que tendría una ecuación diferencial similar.

Para entender lo que quiero decir con complejidad de comportamiento, considere la ecuación de transporte. Todas las soluciones posibles exhiben el mismo comportamiento simple. https://www.ndsu.edu/pubweb/~nov …

Aumentar el orden de la derivada o introducir una ecuación diferencial acoplada permite mucho más comportamiento. La única diferencia entre la ecuación de transporte y la ecuación de onda que describe la propagación de la luz, entre otras cosas, es el orden de las derivadas.

Además, las soluciones de la ecuación de Schrodinger exhiben un comportamiento sensible a las transformaciones de Fourier (que van del espacio de posición al espacio de momento). https://www.google.com/url?sa=t&…

Trataré de dar un argumento conceptual, pero debes entender que esto es un poco como preguntar “¿Por qué [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] está entre 3 y 4?” No hay realmente un “por qué” detrás de esto; es solo un poco.

La ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es

[matemáticas] i \ hbar \ frac {d \ Psi (x, t)} {dt} = – \ frac {\ hbar ^ 2} {2m} \ frac {d ^ 2 \ Psi (x, t)} {dx ^ 2} + V \ Psi (x, t). [/ Matemáticas]

Supongo que por “parte imaginaria” te refieres al lado izquierdo aquí. Intentaré discutir por qué eso hace que las cosas funcionen.

Si sabe cuál es la ecuación de Schrödinger, es probable que también conozca la forma común de llegar a la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo. Para hacerlo, asume que sus soluciones [matemáticas] \ Psi (x, t) [/ matemáticas] pueden expresarse como el producto de una porción espacial [matemáticas] \ psi [/ matemáticas] [matemáticas] (x) [/ matemática] y una porción de tiempo [matemática] \ phi (t) [/ matemática]. Luego se realiza la separación de variables. Cuando haces esto, obtienes que la porción de tiempo es exponencial compleja, algo como [matemática] \ phi (t) = e ^ {iEt / \ hbar} [/ matemática] donde [matemática] E [/ matemática] es la separación constante (que, como sabemos, es la energía).

Ahora, la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo tiene el componente imaginario [math] i \ hbar \ frac {d \ Psi} {dt} [/ math] en un lado. Tenga en cuenta que, si toma la derivada del exponencial complejo anterior con respecto al tiempo, y multiplica por i, los dos factores adicionales de i se cancelan. Si esto no sucediera, en cierto sentido terminaría cambiando las partes reales e imaginarias de la evolución de la función de onda en el tiempo. Es decir, dado que el exponencial complejo es realmente la suma [matemáticas] e ^ {iEt / \ hbar} = \ cos (Et / \ hbar) + i \ sin (Et / \ hbar) [/ matemáticas], una multiplicación por i al final cambia el seno y el coseno. Esto es físicamente incorrecto. Por lo tanto, el extra i en el frente en cierto sentido hace las cosas bien en lugar de estropearlas.

Esta es la intuición que tengo al respecto. No estoy garantizando que esto sea correcto y, por supuesto, solo he usado soluciones separables aquí, pero espero que esta vaga idea conceptual sea al menos útil para que su intuición sea correcta, incluso si realmente no explica completamente ” por qué “que necesito estar allí.

La ecuación de Schrödinger toma la forma general de una ecuación de onda. No hay nada místico al respecto. Es solo una ecuación diferencial de segundo orden que tiene soluciones de onda. La razón fundamental por la que funciona de esta manera se debe a la propiedad matemática de la función exponencial y su relación con una sinusoide.

La aplicación en mecánica cuántica es modelar el estado cuántico como una onda de manera que exhiba fenómenos de interferencia como se observa en la naturaleza. Esta es la parte de onda de la dualidad onda-partícula.

Si, por otro lado, comenzamos con el lado de las partículas, primero construimos un vector de todos los resultados de medición posibles y luego preguntamos cómo evoluciona esto. Debemos usar las reglas del álgebra lineal en este caso.

En definitiva, ambos caminos conducen al mismo fin. El formalismo estándar de la mecánica cuántica.

Es importante comprender la interpretación probabilística de la función [(si)] ^ 2 porque esta función proporciona una interpretación física de toda la ecuación de Schrodinger. Esencialmente, la ecuación trata de describir el estado de una partícula asociada con una naturaleza de onda para extraer información sobre la posición y el momento simultáneamente.

Entonces, si consideramos [si] como una función sinusoidal puramente real, entonces el cuadrado de esa función no nos sería útil, ya que parece casi un gráfico de módulo sinusoidal que no nos da la información esperada sobre la probabilidad.

Dado que conocemos exactamente el momento de la partícula (para trazar un gráfico sinusoidal), deberíamos esperar un gráfico constante para [si] ^ 2 (que da la probabilidad de encontrar la partícula) para ser coherente con el Principio de incertidumbre de Heisenberg. Esto esencialmente establece que no deberíamos ser capaces de decir la posición de una partícula si sabemos con certeza su impulso.

Por lo tanto, nos hacemos de la función e ^ (ikx), que es una función oscilante (para satisfacer la naturaleza de la onda), pero también posee una propiedad inherente para representar correctamente la probabilidad de partícula cuando se eleva al cuadrado, satisfaciendo así el principio de incertidumbre de Heisenberg.

Y esa es la razón cualitativa de la existencia de i en la ecuación de Schrödinger.

No se usa con la constante de Planck, se usa con la derivada del tiempo.

El punto básico aquí es que la ecuación de Schrödinger describe una función de onda cuya magnitud absoluta se interpreta como una probabilidad. Si esa probabilidad se conserva y suma 1, entonces la evolución de la función de onda debe ser descrita por un operador unitario. La solución formal de la ecuación de Schrödinger en términos del operador hamiltoniano, si es hermitaño, da una evolución tan unitaria.

Pero la derivada del tiempo, sin el factor i, no da una evolución unitaria de la función de onda.

He leído que nadie ha podido eliminarlo, pero sospecho que eso no es del todo exacto. Lo que es más seguro es que la eliminación de [matemáticas] i [/ matemáticas] implicaría reemplazar la ecuación compleja simple con un par de ecuaciones reales, lo que hace que sea aún menos intuitivo obtener una función de densidad de probabilidad.

Nunca he entendido por qué las personas de inteligencia aparentemente buena encuentran este truco de una pregunta tan relevante, o por qué la noción de que el gato sangriento está en dos estados simultáneamente es tan persistente.