Aquí una forma de entender por qué las manzanas caen debido a la mecánica cuántica.
Primero debes saber que las manzanas se aceleran hacia el centro de la Tierra porque siguen la línea del tiempo y el espacio-tiempo más larga, y porque el tiempo es más largo a nivel de árbol que a nivel de tierra. Consideraremos que la aceleración de la gravedad [matemáticas] g [/ matemáticas] es la misma en ambas altitudes.
Para una pequeña diferencia de altitud [matemática] \ delta h [/ matemática], la diferencia relativa de tiempo indicada por dos relojes después de un retraso [matemática] t [/ matemática] es
[matemáticas] \ delta t / t = g \ delta h / c ^ 2 [/ matemáticas].
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Para [math] g = 9.8 \, \ mathrm {m / s ^ 2} [/ math], la diferencia relativa es solo
[matemáticas] 1.1 \ cdot 10 ^ {- 16} [/ matemáticas] para [matemáticas] \ delta h [/ matemáticas] = 1 m. Esto es muy pequeño, pero es suficiente para comprender la caída de la manzana. Solo necesita calcular y maximizar la longitud de su línea mundial en el espacio-tiempo.
Ahora el problema es evaluar esta [matemática] 1.1 \ cdot 10 ^ {- 16} [/ matemática] diferencia horaria relativa usando quanta.
Primero reescribo la ecuación como [math] \ delta t = gt \ delta h / c ^ 2 [/ math]. Y usted debe preguntar «¿qué es [matemáticas] t [/ matemáticas], exactamente? ¿Es el momento a nivel de manzana? ». La respuesta es no, es el tiempo en el infinito, es la variable [math] t [/ math] utilizada en la métrica de Schwarzschild. La diferencia no será insignificante para los manzanos de agujeros negros.
Es una pena medir este tiempo [matemático] t [/ matemático] en el infinito. ¿Por qué no medirlo en la línea mundial de masas, como es el momento adecuado? Problemática con agujeros negros. Menos problemático para una tierra homogénea. Sin embargo, una fórmula que use el tiempo en el centro de la Tierra será horrible. La fórmula orientada cuántica será mucho más simple y hermosa.
Sabemos que la ecuación aproximada es
[matemáticas] \ delta t = \ frac {GM t} {R ^ 2} \ delta h / c ^ 2 [/ matemáticas]
El producto [math] M t [/ math] es la acción de la línea de masa del mundo. Es natural medirlo como número [math] n_q [/ math] de [math] h [/ math] quanta: [math] n_q = M c ^ 2 / h [/ math]. Acción terrestre: [matemáticas] 8.103 \ cdot 10 ^ {74} [/ matemáticas] cuantos por segundo. Un gran valor para un [math] \ delta t [/ math] tan pequeño.
El radio [matemáticas] R [/ matemáticas] también parece problemático. De hecho, este radio no debe medirse como la distancia desde [matemática] M [/ matemática] sino como la relación de la circunferencia en [matemática] 2 \ pi [/ matemática] o mejor [matemática] R ^ 2 = \ frac { dS} {d \ Omega} [/ math], con horizontal [math] dS [/ math] y superficie horizontal delimitada por líneas verticales no paralelas que definen un ángulo sólido [math] d \ Omega [/ math].
Ahora podemos escribir la fórmula exacta:
[math] \ delta t = \ sigma_ \ mathrm {P} n_q \ frac {d \ Omega} {dS} \ delta h [/ math]
La constante [math] \ sigma_ \ mathrm {P} = 2 \ pi l_ \ mathrm {P} t_ \ mathrm {P} [/ math] puede llamarse la superficie de espacio-tiempo de Planck no reducida, que tiene un valor extraordinariamente pequeño [mathrm ] \ sigma_ \ mathrm {P} = 5.475 \ cdot 10 ^ {- 78} \ mathrm {m \ cdot s} [/ math]. Las constantes [math] l_ \ mathrm {P} [/ math] y [math] t_ \ mathrm {P} [/ math] son, respectivamente, la longitud de Planck (ambas reducidas) y el tiempo de Planck.
Eventualmente calculamos el valor esperado para la aceleración de la gravedad en la superficie de la tierra como el producto de estos extraordinarios valores cuánticos pequeños y grandes. Primero en unidades naturales:
[matemáticas] \ frac {\ delta t} {t \ delta h} = 5.475 \ cdot 10 ^ {- 78} \ times 8.103 \ cdot 10 ^ {74} \ times (6.31 \ cdot 10 ^ 6) ^ {- 2 } = 1.1 \ cdot 10 ^ {- 16} \, \ mathrm {m ^ {- 1}} [/ math],
Luego en unidades SI:
[matemáticas] g = c ^ 2 \ frac {\ delta t} {t \ delta h} = 9.8 \, \ mathrm {m \ cdot s ^ {- 2}} [/ math]