Permítanme usar la Tierra que orbita alrededor del Sol como ejemplo.
La Tierra sigue una elipse alrededor del sol. Pero a diferencia de la elipse seguida de un péndulo o un objeto unido a un resorte, el sol está en un punto focal de la elipse y no en su centro.
La siguiente derivación se aplica a dicha órbita elíptica. Comenzamos solo con la ley de gravitación newtoniana, de modo que la aceleración gravitacional hacia el cuerpo central está relacionada con el inverso del cuadrado de la distancia entre ellos.
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eq 1. [matemáticas] {\ displaystyle F_ {2} = – {\ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}}} [/ matemáticas]
Donde F2 es la fuerza que actúa sobre la masa m2 causada por la atracción gravitacional que la masa m1 tiene para m2, G es la constante gravitacional universal y r es la distancia entre los dos centros de masas.
De la Segunda Ley de Newton, la suma de las fuerzas que actúan en m2 relacionadas con la aceleración de esos cuerpos:
eq 2. [matemáticas] {\ displaystyle F_ {2} = m_ {2} A_ {2}} [/ matemáticas]
Donde A2 es la aceleración de m2 causada por la fuerza de atracción gravitacional F2 de m1 que actúa sobre m2. Combinando las ecuaciones 1 y 2:
[matemáticas] {\ displaystyle – {\ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} = m_ {2} A_ {2}} [/ matemáticas]
Resolviendo la aceleración, A2:
[matemáticas] {\ displaystyle A_ {2} = {\ frac {F_ {2}} {m_ {2}}} = – {\ frac {1} {m_ {2}}} {\ frac {Gm_ {1} m_ {2}} {r ^ {2}}} = – {\ frac {\ mu} {r ^ {2}}}} [/ math]
dónde,
[math] {\ displaystyle \ mu \,} [/ math] es el parámetro gravitacional estándar, en este caso [math] {\ displaystyle Gm_ {1}} [/ math]. Se entiende que el sistema que se describe es m2, por lo tanto, los subíndices pueden descartarse.
Asumimos que el cuerpo central es lo suficientemente masivo como para que pueda considerarse estacionario e ignoramos los efectos más sutiles de la relatividad general.
Cuando un péndulo o un objeto unido a un resorte se balancea en una elipse, la aceleración / fuerza hacia adentro es proporcional a la distancia
[matemáticas] {\ displaystyle A = F / m = -kr.} [/ matemáticas]
Debido a la forma en que se suman los vectores, el componente de la fuerza en [math] {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}}} [/ math] o en [math] {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {y}}}} [/ math]
Las direcciones también son proporcionales a los componentes respectivos de las distancias.
[matemáticas] {\ displaystyle r ” _ {x} = A_ {x} = – kr_ {x}} [/ matemáticas].
Por lo tanto, todo el análisis se puede hacer por separado en estas dimensiones. Esto da como resultado las ecuaciones parabólicas armónicas.
[matemáticas] {\ displaystyle x = A \ cos (t)} [/ matemáticas] y
[math] {\ displaystyle y = B \ sin (t)} [/ math] de la elipse. Pero con la relación decreciente
[matemáticas] {\ displaystyle A = \ mu / r ^ {2}} [/ matemáticas], las dimensiones no se pueden separar.
La ubicación del objeto en órbita en el momento actual
[math] {\ displaystyle t} [/ math] se encuentra en el plano utilizando el cálculo vectorial en coordenadas polares tanto con la base euclidiana estándar como con la base polar con el origen coincidiendo con el centro de fuerza. Deje que [math] {\ displaystyle r} [/ math] sea la distancia entre el objeto y el centro y [math] {\ displaystyle \ theta} [/ math] sea el ángulo que ha girado. Deje que [math] {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {x}}}} [/ math] y [math] {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {y}}}} [/ math] sea el Euclidiano estándar bases y dejar que [math] {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} = \ cos (\ theta) {\ hat {\ mathbf {x}}} + \ sin (\ theta) {\ hat {\ mathbf {y}}}} [/ math] y [math] {\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}} = – \ sin (\ theta) {\ hat {\ mathbf {x}}} + \ cos (\ theta) {\ hat {\ mathbf {y}}}} [/ math] sea la base polar radial y transversal, siendo el primero el vector unitario que apunta desde el cuerpo central a la ubicación actual del objeto en órbita y el segundo es el vector de unidad ortogonal que apunta en la dirección en que viajaría el objeto en órbita si orbitara en un círculo en sentido contrario a las agujas del reloj. Entonces el vector para el objeto en órbita es
[matemáticas] {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {O}}} = r \ cos (\ theta) {\ hat {\ mathbf {x}}} + r \ sin (\ theta) {\ hat {\ mathbf {y}}} = r {\ hat {\ mathbf {r}}}} [/ math]
Usamos [math] {\ displaystyle {\ dot {r}}} [/ math] y [math] {\ displaystyle {\ dot {\ theta}}} [/ math] para denotar las derivadas estándar de cómo esta distancia y cambio de ángulo con el tiempo. Tomamos la derivada de un vector para ver cómo cambia con el tiempo restando su ubicación en el momento [math] {\ displaystyle t} [/ math] de ese en el momento [math] {\ displaystyle t + \ delta t} [/ math ] y dividiendo entre [matemáticas] {\ displaystyle \ delta t} [/ matemáticas]. El resultado también es un vector. Debido a que nuestro vector base [math] {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}} [/ math] se mueve a medida que el objeto orbita, comenzamos por diferenciarlo. Desde el momento [math] {\ displaystyle t} [/ math] a [math] {\ displaystyle t + \ delta t} [/ math], el vector [math] {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} } [/ math] mantiene su comienzo en el origen y gira desde el ángulo [math] {\ displaystyle \ theta} [/ math] a [math] {\ displaystyle \ theta + {\ dot {\ theta}} \ \ delta t } [/ math] que mueve su cabeza una distancia [math] {\ displaystyle {\ dot {\ theta}} \ \ delta t} [/ math] en la dirección perpendicular [math] {\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}}} [/ math] dando una derivada de [math] {\ displaystyle {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}}} [/ math].
[matemáticas] {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}} = \ cos (\ theta) {\ hat {\ mathbf {x}}} + \ sin (\ theta) {\ hat {\ mathbf {y }}}}[/matemáticas]
[matemáticas] {\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ hat {\ mathbf {r}}}} {\ delta t}} = {\ dot {\ mathbf {r}}} = – \ sin (\ theta) {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ mathbf {x}}} + \ cos (\ theta) {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ mathbf {y}}} = {\ dot { \ theta}} {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}}} [/ math]
[matemáticas] {\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}} = – \ sin (\ theta) {\ hat {\ mathbf {x}}} + \ cos (\ theta) {\ hat {\ mathbf {y}}}} [/ math]
[matemáticas] {\ displaystyle {\ frac {\ delta {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}}} {\ delta t}} = {\ dot {\ boldsymbol {\ theta}}} = – \ cos (\ theta) {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ mathbf {x}}} – \ sin (\ theta) {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ mathbf {y}}} = – { \ dot {\ theta}} {\ hat {\ mathbf {r}}}} [/ math]
Ahora podemos encontrar la velocidad y la aceleración de nuestro objeto en órbita.
[matemáticas] {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {O}}} = r {\ hat {\ mathbf {r}}}} [/ math]
[matemáticas] {\ displaystyle {\ dot {\ mathbf {O}}} = {\ frac {\ delta r} {\ delta t}} {\ hat {\ mathbf {r}}} + r {\ frac {\ delta {\ hat {\ mathbf {r}}}} {\ delta t}} = {\ dot {r}} {\ hat {\ mathbf {r}}} + r [{\ dot {\ theta}} { \ hat {\ boldsymbol {\ theta}}}]} [/ math]
[matemáticas] {\ displaystyle {\ ddot {\ mathbf {O}}} = [{\ ddot {r}} {\ hat {\ mathbf {r}}} + {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}}] + [{\ dot {r}} {\ dot {\ theta}} {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}} + r {\ ddot {\ theta}} {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}} – r {\ dot {\ theta}} ^ {2} {\ hat {\ mathbf {r}}}]} [/ math]
[matemáticas] {\ displaystyle = [{\ ddot {r}} – r {\ dot {\ theta}} ^ {2}] {\ hat {\ mathbf {r}}} + [r {\ ddot {\ theta }} + 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}}] {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}}} [/ math]
Los coeficientes de [math] {\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {r}}}} [/ math] y [math] {\ displaystyle {\ hat {\ boldsymbol {\ theta}}}} [/ math] dan Las aceleraciones en las direcciones radial y transversal. Como se dijo, Newton da esto primero porque la gravedad es [matemáticas] {\ displaystyle – \ mu / r ^ {2}} [/ matemáticas] y el segundo es cero.
[matemáticas] {\ displaystyle {\ ddot {r}} – r {\ dot {\ theta}} ^ {2} = – {\ frac {\ mu} {r ^ {2}}}} [/ math]
[matemáticas] {\ displaystyle r {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}} = 0} [/ matemáticas]
La ecuación (2) se puede reorganizar utilizando la integración por partes.
[matemáticas] {\ displaystyle r {\ ddot {\ theta}} + 2 {\ dot {r}} {\ dot {\ theta}} = {\ frac {1} {r}} {\ frac {d} { dt}} \ left (r ^ {2} {\ dot {\ theta}} \ right) = 0} [/ math]
Podemos multiplicar por [math] {\ displaystyle r} [/ math] porque no es cero a menos que el objeto en órbita se cuelgue. Luego, tener la derivada ser cero da que la función es una constante.
[matemáticas] {\ displaystyle r ^ {2} {\ dot {\ theta}} = h} [/ matemáticas]
que es en realidad la prueba teórica de la segunda ley de Kepler (una línea que une un planeta y el Sol barre áreas iguales durante intervalos de tiempo iguales). La constante de integración, h , es el momento angular por unidad de masa.
Para obtener una ecuación para la órbita de la ecuación (1), necesitamos eliminar el tiempo.
En coordenadas polares, esto expresaría la distancia [math] {\ displaystyle r} [/ math] del objeto en órbita desde el centro en función de su ángulo [math] {\ displaystyle \ theta} [/ math]. Sin embargo, es más fácil introducir la variable auxiliar [math] {\ displaystyle u = 1 / r} [/ math] y expresar [math] {\ displaystyle u} [/ math] en función de [math] {\ displaystyle \ theta} [/ math]. Las derivadas de [math] {\ displaystyle r} [/ math] con respecto al tiempo pueden reescribirse como derivadas de [math] {\ displaystyle u} [/ math] con respecto al ángulo.
[matemáticas] {\ displaystyle u = {1 \ over r}} [/ matemáticas]
[matemáticas] {\ displaystyle {\ dot {\ theta}} = {\ frac {h} {r ^ {2}}} = hu ^ {2}} [/ matemáticas] (reelaboración (3))
[matemáticas] {\ displaystyle {\ begin {alineado} & {\ frac {\ delta u} {\ delta \ theta}} = {\ frac {\ delta} {\ delta t}} \ left ({\ frac {1 } {r}} \ right) {\ frac {\ delta t} {\ delta \ theta}} = – {\ frac {\ dot {r}} {r ^ {2} {\ dot {\ theta}}} } = – {\ frac {\ dot {r}} {h}} \\ & {\ frac {\ delta ^ {2} u} {\ delta \ theta ^ {2}}} = – {\ frac {1 } {h}} {\ frac {\ delta {\ dot {r}}} {\ delta t}} {\ frac {\ delta t} {\ delta \ theta}} = – {\ frac {\ ddot {r }} {h {\ dot {\ theta}}}} = – {\ frac {\ ddot {r}} {h ^ {2} u ^ {2}}} \ \ \ \ o \ \ \ \ {\ ddot {r}} = – h ^ {2} u ^ {2} {\ frac {\ delta ^ {2} u} {\ delta \ theta ^ {2}}} \\\ end {alineado}}} [ /matemáticas]
Al conectarlos a (1) se obtiene
[matemáticas] {\ displaystyle {\ ddot {r}} – r {\ dot {\ theta}} ^ {2} = – {\ frac {\ mu} {r ^ {2}}}} [/ math]
[matemáticas] {\ displaystyle -h ^ {2} u ^ {2} {\ frac {\ delta ^ {2} u} {\ delta \ theta ^ {2}}} – {\ frac {1} {u} } (hu ^ {2}) ^ {2} = – \ mu u ^ {2}} [/ math]
[matemáticas] {\ displaystyle {\ frac {\ delta ^ {2} u} {\ delta \ theta ^ {2}}} + u = {\ frac {\ mu} {h ^ {2}}}} [/ matemáticas]
Entonces, para la fuerza gravitacional, o, más generalmente, para cualquier ley de fuerza cuadrada inversa, el lado derecho de la ecuación se convierte en una constante y se ve que la ecuación es la ecuación armónica (hasta un cambio de origen de la variable dependiente) . La solucion es:
[matemáticas] {\ displaystyle u (\ theta) = {\ frac {\ mu} {h ^ {2}}} – A \ cos (\ theta – \ theta _ {0})} [/ math]
donde A y θ 0 son constantes arbitrarias. Esta ecuación resultante de la órbita del objeto es la de una elipse en forma polar con respecto a uno de los puntos focales. Esto se pone en una forma más estándar permitiendo que [math] {\ displaystyle e \ equiv h ^ {2} A / \ mu} [/ math] sea la excentricidad, dejando que [math] {\ displaystyle a \ equiv h ^ { 2} / (\ mu (1-e ^ {2}))} [/ math] será el eje semi-mayor. Finalmente, dejando [math] {\ displaystyle \ theta _ {0} \ equiv 0} [/ math] para que el eje largo de la elipse esté a lo largo de la coordenada x positiva.
[matemáticas] {\ displaystyle r (\ theta) = {\ frac {a (1-e ^ {2})} {1-e \ cos \ theta}}} [/ matemáticas].
Cualquier órbita que respete las leyes de la física funcionaría de la manera antes mencionada.
