Dualidad onda-partícula y la ecuación de Schrodinger
Los orbitales que aprende en clase son soluciones que derivamos de la ecuación de Schrödinger. Para decirlo simplemente en la década de 1920, los físicos descubrieron que las partículas, incluidos los electrones, también tenían propiedades de onda. Con esta revelación, Schrodinger se dio cuenta de que podía modelar electrones con una ecuación de onda como se ve a continuación:
[matemáticas] \ frac {- \ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 \ Psi (r) + V (r) \ Psi (r) = E \ Psi (r) [/ math]
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La ecuación de Schrodinger aplicada a los orbitales atómicos
Cuando usamos esta ecuación para modelar un átomo de hidrógeno, la ecuación toma la forma:
[matemáticas] \ frac {- \ hbar ^ 2} {2m} \ nabla ^ 2 \ Psi (r, \ theta, \ phi) + \ frac {-e ^ 2} {4 \ pi \ epsilon_o r} \ Psi ( r, \ theta, \ phi) = E \ Psi (r, \ theta, \ phi) [/ math]
Aquí [math] r, \ theta, [/ math] y [math] \ phi [/ math] son las tres dimensiones en el sistema de coordenadas esféricas. Para resolver esta ecuación, la mayoría de las personas usa una técnica llamada Separación de variables que toma la función de onda tridimensional y la divide en 3 funciones unidimensionales de la siguiente manera:
[matemáticas] \ Psi (r, \ theta, \ phi) = R (r) P (\ theta) F (\ phi) [/ matemáticas]
Este cambio convierte la ecuación de Schrodinger en 3 ecuaciones simultáneas (1 para [matemática] R (r) [/ matemática], 1 para [matemática] P (\ theta) [/ matemática] y 1 para [matemática] F (\ phi )[/matemáticas]). Cada una de estas ecuaciones tiene su propio número cuántico asociado, como se muestra en la Figura 1.
Figura 1. Cada una de las 3 ecuaciones generadas al aplicar la separación de variables a la ecuación de Schrodinger tiene una solución que depende de un número entero llamado número cuántico. (de la ecuación de Schrodinger de hidrógeno )
La ecuación [matemática] R (r) [/ matemática] da lugar al número cuántico principal [matemática] n [/ matemática], este es el número que se muestra al comienzo de una notación orbital. Por ejemplo el 3 en un orbital 3 s.
La ecuación [math] P (\ theta) [/ math] da lugar al número cuántico [math] l [/ math] este número determina de qué tipo es un orbital, por ejemplo [math] l = 0 [/ math] es un s orbital, [matemática] l = 1 [/ matemática] es ap orbital, y [matemática] l = 2 [/ matemática] es ad orbital. La relación de estos números con sus orbitales se muestra a continuación:
Figura 2. Los orbitales atómicos y sus números cuánticos asociados.
La ecuación de onda de Schrodinger y las ondas 2D
Pero tal vez estas formas extrañas aún no sean intuitivas, puede ayudar recordar que la ecuación de Schrodinger es una ecuación de onda. Con esto en mente, las soluciones a la ecuación de Schrodinger son análogas a la solución de una onda estacionaria en la cabeza de un tambor. Los modos de cabeza de tambor análogos se muestran a continuación (de Atomic orbital – Wikipedia):
s-orbital
p-orbital
d-orbital
También puede ver que estos modos de oscilación ocurren en un parche de tambor real como se muestra en el siguiente video:
Video de los modos de oscilación del parche. A medida que aumenta la frecuencia del sonido del altavoz, la cabeza del tambor accede a diferentes modos que se parecen a los gifs de oscilación anteriores. (de la membrana circular (cabeza del tambor) vibración )
