Existe un teorema en la estadística que dice que, para las partículas de N, tanto la cantidad observable media como su varianza son proporcionales a N. Debido a esta razón, la incertidumbre relativa (que es la desviación estándar / media = [(varianza) ^ 0.5] / Media) es proporcional a (1 / N) ^ 0.5.
Para un conjunto canónico suponemos que la temperatura es fija, por lo que un gráfico de número de estados frente a temperatura simplemente será una función delta. Para un conjunto microcanónico, T se define como (dE / dS) con N y V constantes (sin trabajo), por lo que cada estado puede tener diferentes valores de T. Dado que hay una gran cantidad de partículas, (y así un gran número de estados posibles), se espera que la distribución de los estados sobre todas las temperaturas posibles se aproxime a una Gaussiana, según el Teorema del límite central. El ancho relativo del gaussiano es proporcional a (1 / N) ^ 0.5, como se mencionó anteriormente, ya que tenderá a 0 y N crecerá hasta el infinito. Por lo tanto, todo lo que obtendrá es una función con un pico muy agudo, que es la misma que la función delta para todos los fines prácticos.
Puede voltear el argumento y decir No de estados vs E es una función delta para un sistema microcanónico, pero hay una distribución de energías para el canónico. Sin embargo, el ancho relativo es extremadamente pequeño, por lo que los dos son iguales para todos los fines prácticos. Para dar una idea sobre la diferencia, rel SD es aproximadamente 10 ^ -11 para N = número de Avogadro, por lo que el ancho de la curva es insignificante en comparación con su media.
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En general, significa que para un número muy grande de partículas, el valor medio del observable está asociado con el número máximo de estados, y que las desviaciones de este valor medio son extremadamente pequeñas (en términos relativos). Esto nos permite usar el conjunto que sea matemáticamente más conveniente y obtener un resultado.
