Simplemente se integraría a lo largo del elemento de línea.
Parece que desea encontrar la longitud a lo largo de la línea radial en la geometría de Schwarzschild, que tiene el siguiente elemento de línea:
[matemáticas] ds ^ 2 = – \ left (1- \ dfrac {2m} {r} \ right) dt ^ 2 + \ left (1- \ dfrac {2m} {r} \ right) ^ {- 1} dr ^ 2 + d \ Omega ^ 2 [/ matemáticas]
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A lo largo de una ruta radial [matemática] dt = d \ Omega = 0 [/ matemática] la integral es:
[matemáticas] \ displaystyle \ int ds = \ displaystyle \ int \ left (1- \ dfrac {2m} {r} \ right) ^ {- 1/2} dr [/ math]
Tendría que buscar esto en una tabla de integrales y luego evaluarlo para elegir [math] r = x_1 [/ math] y [math] r = x_2 [/ math].
EDITAR: Ok, tengo un poco de tiempo extra, obtengo
[matemáticas] \ Delta s = \ alpha- \ beta + m \ ln \ left (\ dfrac {\ alpha + x_2-m} {\ beta + x_1-m} \ right) [/ math]
donde [matemáticas] \ alpha = x_2 \ sqrt {1- \ dfrac {2m} {x_2}} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta = x_1 \ sqrt {1- \ dfrac {2m} {x_1}} [/ matemáticas].
Precaución : NO interprete esto como el elemento de línea para un observador que se mueve a lo largo de esta distancia.
