No creo que alguna vez haya necesitado resolver [matemáticas] \ delta R _ {\ mu \ nu} [/ matemáticas] explícitamente (siempre hay atajos, y en cualquier caso, si el tema es relatividad general, el término en el El lagrangiano suele ser solo el escalar de Ricci [matemática] R [/ matemática], y resulta que la única variación que se necesita es la de [matemática] \ sqrt {-g} R [/ matemática] con respecto a la segunda derivada de la métrica para obtener la ecuación de Einstein-Hilbert correspondiente). Pero si tuviera que hacerlo, simplemente seguiría las definiciones.
Dado
[matemáticas] R _ {\ mu \ nu} = R_ \ mu {} ^ \ alpha {} _ {\ nu \ alpha} = \ partial_ \ alpha \ Gamma ^ \ alpha _ {\ mu \ nu} – \ partial_ \ nu \ Gamma ^ \ alpha _ {\ mu \ alpha} + \ Gamma ^ \ kappa _ {\ mu \ nu} \ Gamma ^ \ alpha _ {\ kappa \ alpha} – \ Gamma ^ \ kappa _ {\ mu \ alpha} \ Gamma ^ \ alpha_ {\ kappa \ nu}, \ tag * {}, [/ math]
- Si la expansión del universo es solo el estiramiento del espacio por la teoría de la relatividad, ¿no debería estirarse también el tiempo?
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tenemos
[matemáticas] \ delta R _ {\ mu \ nu} = \ delta \ partial_ \ alpha \ Gamma ^ \ alpha _ {\ mu \ nu} – \ delta \ partial_ \ nu \ Gamma ^ \ alpha _ {\ mu \ alpha} + \ delta \ Gamma ^ \ kappa _ {\ mu \ nu} \ Gamma ^ \ alpha _ {\ kappa \ alpha} + \ Gamma ^ \ kappa _ {\ mu \ nu} \ delta \ Gamma ^ \ alpha _ {\ kappa \ alpha} – \ delta \ Gamma ^ \ kappa _ {\ mu \ alpha} \ Gamma ^ \ alpha _ {\ kappa \ nu} – \ Gamma ^ \ kappa _ {\ mu \ alpha} \ delta \ Gamma ^ \ alpha _ {\ kappa \ nu}, \ etiqueta * {}, [/ math]
y dado
[matemáticas] \ Gamma ^ \ gamma _ {\ alpha \ beta} = \ frac {1} {2} g ^ {\ gamma \ delta} \ left (\ partial_ \ alpha g _ {\ beta \ delta} + \ partial_ \ beta g _ {\ alpha \ delta} – \ partial_ \ delta g _ {\ alpha \ beta} \ right) \ tag * {}, [/ math]
tenemos
[matemáticas] \ delta \ Gamma ^ \ gamma _ {\ alpha \ beta} = \ frac {1} {2} \ delta g ^ {\ gamma \ delta} \ left (\ partial_ \ alpha g _ {\ beta \ delta} + \ partial_ \ beta g _ {\ alpha \ delta} – \ partial_ \ delta g _ {\ alpha \ beta} \ right) + g ^ {\ gamma \ delta} \ left (\ delta \ partial_ \ alpha g _ {\ beta \ delta } + \ delta \ partial_ \ beta g _ {\ alpha \ delta} – \ delta \ partial_ \ delta g _ {\ alpha \ beta} \ right) \ tag * {}. [/ math]
Entonces, entonces da [math] \ delta R _ {\ mu \ nu} [/ math] en términos de la variación de la métrica y sus derivados.
