Bueno, el “tejido de espacio-tiempo” tridimensional o bidimensional (“espacio-tiempo”) es solo una analogía utilizada por los divulgadores de la ciencia para explicar, hasta cierto punto, las implicaciones teóricas y experimentales de la teoría de la relatividad general, de una manera los profanos pueden entenderlo, porque al final del día, sus cheques de pago deben firmarse.
La relatividad general es un tema complicado, no solo porque es difícil de imaginar o poco intuitivo, sino porque las matemáticas involucradas son un nivel más alto que el que se enseña hasta el nivel de pregrado. Ahora, un tema como ese es definitivamente difícil de explicar a un laico, quien, en promedio, no tiene tanta exposición a las matemáticas. Por eso, el físico tendría que invocar analogías y metáforas, a fin de establecer un terreno común, en el que el público, en cierta medida, tuviera una idea de lo que está hablando. (aunque ahí es donde surgen los conceptos erróneos). Un físico experto sabría lo que realmente implica, cuando leería la literatura de “ciencia ficción” o ciencia pop, ya que lo habría estudiado en la escuela de posgrado, incluso había hecho un doctorado en él.
Por lo tanto, al final del día, las analogías como el tejido del espacio-tiempo son literalmente producto de su imaginación, por lo tanto, es imposible explicar los conceptos de GR utilizando esta analogía (que es incorrecta) como base.
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Permítanme dar una breve idea de lo que es la Relatividad General [1], o lo que este llamado “tejido espacio-temporal” implica física y matemáticamente. En primer lugar, debemos entender qué es GR? La relatividad general es un intento de generalizar la teoría de la relatividad (relatividad especial) a una escala global.
Ahora, el primer problema en GR es definir qué es el espacio . Todo lo que sabemos sobre “espacio” es que “tiene” tres dimensiones (o 4, si incluimos SR). Ahora este problema se modela matemáticamente como el estudio de las llamadas variedades, bajo geometría diferencial. La idea es la siguiente: definimos múltiples como una entidad matemática, bastante separada de cualquier entrada física. En consecuencia, tratamos de describir nuestro universo (espacio-tiempo) utilizando nuestras herramientas matemáticas, y nos damos cuenta de que el espacio-tiempo puede modelarse como una variedad. Esta es la intuición detrás de GR.
Ahora, la gran pregunta: múltiples [2] . ¿Qué son las variedades y por qué las estudiamos en GR? Comencemos con una intuición: salga de su casa a una carretera vacía y mire a su alrededor. Como aparece El término apropiado para describirlo sería “plano”. Hasta donde podemos ver a nuestro alrededor, la Tierra parece plana. Pero en realidad, sabemos que no lo es, tiene una forma algo obloide. (Y si no crees esto, tal vez deberías dejar de leer la respuesta ahora). Entonces nos damos cuenta de una propiedad importante de nuestro “espacio”, que aunque estamos globalmente en una superficie curva, parece ser plana localmente. Eso es lo que describe una variedad.
Un múltiple es un espacio topológico n-dimensional que es localmente euclidiano.
Ahora, lo bueno de las variedades es que esta propiedad de ser localmente euclidiano (plano) nos permite describir una variedad compleja de manera fácil e intuitiva, ya que tenemos una comprensión bastante buena de la geometría “normal” (esférica y cilíndrica). Y si consideramos que el espacio (o el espacio-tiempo en SR) es múltiple, podemos construir una teoría “generalizada” para describir el espacio-tiempo, la materia y la energía. Eso es lo que queríamos.
Ahora, dado que queremos describir una variedad de 4 dimensiones (espacio-tiempo), podemos usar la propiedad de las variedades para darnos cuenta de que localmente una variedad de 4 aparecería esférica, y dado que podemos describir “cosas” esféricas (principalmente coordenadas y distancias, usando un sistema de coordenadas esféricas), podemos describir el espacio de 4 dimensiones.
Debe entenderse que no podemos usar geometría euclidiana en GR, porque, dado que la variedad en la que estamos trabajando es “curva”, las líneas que dibujamos en ella ya no serían “rectas”, como resultado de los resultados que tomamos Por supuesto, en nuestro espacio euclidiano plano normal ya no funcionaría.
El primer objetivo es describir un sistema de coordenadas y descubrir las distancias en una variedad. Para esto, describimos la métrica (tensor). La métrica le indica la escala de su sistema de coordenadas, registrando la distancia entre puntos vecinos separados por una unidad en su sistema de coordenadas. Ahora, dado que podemos elegir arbitrariamente un múltiple, necesitamos tener diferentes escalas a lo largo de diferentes direcciones, para describir el sistema de coordenadas en el múltiple; así, la métrica resulta ser un tensor [3].
Entonces, derivemos la métrica. Como la métrica es un sistema de coordenadas en una variedad, debemos asignar a cada punto de la variedad un conjunto de números o coordenadas. En una variedad bidimensional, la métrica se puede ver como una matriz con entradas [matemáticas] 4 [/ matemáticas]. Estas entradas están etiquetadas por los subíndices [math] \ mu, \ nu [/ math], que pueden seleccionarse para que sean iguales [math] x [/ math] o [math] y [/ math]. La métrica se puede entender simplemente como una matriz de números:
[matemáticas] \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {yx} & g_ {yy} \ end {pmatrix} [/ math]
Ahora, la longitud de una curva arbitraria viene dada por [math] L = \ int ds [/ math], donde [math] ds [/ math] es el elemento de distancia infinitesimal. En nuestra variedad, con la matriz de coordenadas como se describió anteriormente, definimos el cuadrado de la distancia entre los dos puntos, llamado [math] \ mathrm {d} s ^ 2 [/ math], como [math] \ mathrm {d} s ^ 2 = g_ {xx} \ mathrm {d} x ^ 2 + g_ {aa} \ mathrm {d} y ^ 2 + 2 g_ {xy} \ mathrm {d} x \ mathrm {d} y [/ math ] Comparándolo con el teorema de Pitágoras para un espacio plano bidimensional, [math] \ mathrm {d} s ^ 2 = \ mathrm {d} x ^ 2 + \ mathrm {d} y ^ 2 [/ math], muestra que , en este caso, la métrica natural en el espacio bidimensional plano viene dada por [matemáticas] g _ {\ mu \ nu} = \ begin {pmatrix} g_ {xx} & g_ {xy} \\ g_ {xy} & g_ {aa } \ end {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix} [/ math].
Podemos generalizar esto a una variedad dimensional más alta, donde las longitudes se pueden evaluar usando [math] ds ^ 2 = d \ mathbf {y} g (\ mathbf {x}) d \ mathbf {x} [/ math]. Esta matriz [matemática] g [/ matemática], que usamos para calcular longitudes y ángulos, es la métrica [4] . En nuestro espacio 4D, la métrica toma la forma de una matriz simétrica [5] 4 × 4, que tiene diez componentes independientes.
Lo bueno es que, en un sistema de coordenadas dado, el conocimiento de la métrica en una región abierta del espacio-tiempo determina completamente la curvatura del espacio-tiempo en esa región. ¡Esto nos dice que, en cierto sentido, cualquier curvatura, no importa cuán exótica, se puede medir y caracterizar midiendo longitudes y ángulos dentro del espacio-tiempo mismo!
Ahora, las ecuaciones de campo de Einstein, que se derivan del tensor métrico [6], están dadas por [matemáticas] R ^ {ab} – \ frac {1} {2} R g ^ {ab} + \ Lambda g ^ { ab} = \ frac {8 \ pi G} {c ^ 4} T ^ {ab} [/ math]
El lado derecho describe el contenido de materia y energía de una región del espacio-tiempo. [matemáticas] \ Lambda [/ matemáticas] es la constante cosmológica. Todas las demás cantidades en el lado izquierdo se derivan de la métrica. Entonces las ecuaciones de campo de Einstein son las ecuaciones que determinan la métrica. Si arreglas el lado derecho y resuelves las ecuaciones de campo de Einstein, obtienes la métrica. Por lo tanto, las ecuaciones de campo de Einstein le dicen cómo la materia curva el espacio-tiempo , y lo hacen al permitirle resolver la métrica.
Otra cosa importante es que ahora esta ecuación también nos dice que en presencia de materia / energía, el espacio-tiempo * espera * curvas. Sin embargo, esta curvatura es intrínseca a la variedad, en el sentido de que no necesitamos tener una dimensión adicional donde la variedad podría estar “curvada”. La curvatura, dada por el escalar de curvatura de Ricci, se define matemáticamente como la medida de cuánto se desvía un volumen esférico infinitesimal en la variedad (en física, la variedad es espacio-tiempo) de uno en el espacio de Minkowski.
Notas al pie
[2] Colector – de Wolfram MathWorld
[3] Tensor – de Wolfram MathWorld
[4] El tensor métrico
[5] ¿El tensor métrico debe ser simétrico?
[6] Acción de Einstein-Hilbert en nLab
