La ecuación de Dirac se escribe en términos de cuatro hiladores componentes, ya que se derivó utilizando la representación matricial 4-d del álgebra de Clifford, en términos de las matrices anti-conmutación [math] \ gamma_ \ mu [/ math].
A su vez, los hiladores de cuatro componentes pueden desglosarse y escribirse de manera más simple en términos de los hiladores de dos componentes de Weyl, que en realidad son los básicos, los irreps fundamentales del grupo generalizado de Lorentz, con spin 1/2, de la siguiente manera:
[matemáticas] \ psi = \ begin {pmatrix} \ eta_ \ alpha \\ \ chi_ \ alpha ^ \ dagger \ end {pmatrix} [/ math]
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Resulta que la transformación [math] \ eta \ rightarrow \ chi, [/ math] que es equivalente a la conjugación compleja del spinor [math] \ psi, [/ math] seguida de la multiplicación por cierta matriz [math] C , [/ math] produce un nuevo spinor [math] \ psi_c [/ math] que tiene la carga opuesta, es decir, [math] \ psi_c [/ math] satisface una ecuación de Dirac cuando está mínimamente acoplado al campo electromagnético en el que cargar [matemáticas] e [/ matemáticas] tiene el signo opuesto.
Esa es la nueva ecuación de Dirac tiene la misma forma que la original, la misma masa, pero la partícula tiene carga [matemática] -e [/ matemática] en su lugar.
Entonces, en este caso, llamamos a esto la antipartícula del spinor Dirac masivo o sin masa. La partícula y la antipartícula son entonces diferentes.
Resulta que en el caso masivo hay otro tipo de spinor que se puede formar, que se llama un spinor Majorana: un spinor Majorana satisface una condición de realidad, no tiene carga y la partícula que representa es su propia antipartícula.
Una partícula representada por un spinor Dirac o un spinor Weyl no es su propia antipartícula.
En el caso sin masa, uno puede tener rotores Weyl puros.
Entonces, la razón por la cual la ecuación de Dirac tiene una simetría de conjugación de carga bien definida es que el spinor de Dirac de cuatro componentes es una suma directa de los dos componentes fundamentales spin 1/2 irreps: [matemáticas] (1 / 2,0) \ oplus (0 , 1/2). [/ Math] Esto a veces se denomina representación bispinor del grupo Lorentz.
Todas las representaciones irreducibles dimensionales finitas se pueden caracterizar por un conjunto de dos enteros o enteros medios impares [matemática] (m, n). [/ Matemática]
