Digamos que aumenta la escala de un objeto 1-dimesional. Si es S veces más grande en 1 dimensión, su longitud también aumenta en [matemática] S = S ^ 1 [/ matemática]. Por ejemplo, si duplica la longitud de un segmento de línea ([matemática] S = 2 [/ matemática]), obtendrá el doble de línea o podría cortar el segmento más grande en 2 copias del segmento original.
Ahora tome un objeto bidimensional como un cuadrado. Si aumenta la escala en S, el área aumenta en [matemáticas] S ^ 2 [/ matemáticas]. Por ejemplo, si duplica el tamaño, obtiene 4 veces el área; puedes cortar el cuadrado más grande en 4 de los cuadrados del tamaño original.
Con un cubo tridimensional, es [matemática] S ^ 3 [/ matemática]. Duplicar el tamaño del borde hace que sea 8 veces el volumen. Triplicar el tamaño del borde hace que sea 27 veces el volumen.
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Entonces, generalmente, decimos que algo es D-dimensional si, cuando lo escalas por un factor de S, obtienes [matemáticas] N = S ^ D [/ matemáticas] tantas veces más. Esto es válido para D = 1,2,3,4, … Otra forma de escribir la misma ecuación es tomar la base de registro S de ambos lados: [matemáticas] D = \ log_S (N) = \ frac {\ log ( N)} {\ log (S)} [/ math].
Ahora considere el copo de nieve de Koch. Si toma una parte de su límite y la escala por un factor de S = 3, obtendrá N = 4 copias de la pieza original. Entonces tenemos [matemáticas] 4 = 3 ^ D [/ matemáticas] o [matemáticas] D = \ log_3 (4) = \ frac {\ log (4)} {\ log (3)} \ aprox 1.261859507142915 [/ matemáticas] . La dimensión es mayor que 1, pero menor que 2; la curva tiene una longitud unidimensional infinita, pero un área bidimensional cero; tiene una dimensión más alta que una línea, pero una dimensión más baja que un cuadrado.
Para el conjunto de Cantor, cuando lo haces S = 3 veces más grande obtienes N = 2 copias, por lo que su dimensión es [matemática] D = \ log_3 (2) = \ frac {\ log (2)} {\ log (3 )} \ aproximadamente 0.630929753571457 [/ math]. Está en algún lugar entre 0 y 1 dimensional.
Cuando algo tiene una dimensión no entera o “fraccional”, lo llamamos fractal. Tenga en cuenta que las dimensiones de la mayoría de los fractales no son fracciones (números racionales), por lo que es una especie de nombre engañoso. Pero diferentes fractales pueden tener diferentes dimensiones.
