En el sentido más estricto, esto no es realmente cierto e implica advertencias importantes. Pero antes de abordar lo que son, primero intentaré precisar a qué me refiero exactamente cuando digo que un espacio es homogéneo.
Cualquier espacio (con lo que quiero decir una variedad diferenciable) lleva la acción natural de su grupo de difeomorfismos de Lie. El grupo de difeomorfismos es de dimensión infinita, pero podemos destacar un subgrupo que tiene la misma dimensión que el espacio en consideración. Además, también exigimos que este grupo actúe de forma transitiva y libre. Una vez que tengamos dicho grupo, podemos imponer la condición de que cualquier restricción sobre un campo dinámico que surja debido a las leyes de la física también sea obedecida por cualquier campo obtenido por Lie arrastrando los campos a lo largo de los generadores del subgrupo elegido (en adelante denominado El grupo de las homogeneidades). En particular, esto significa que si el espacio viene equipado con una métrica (que se requiere para hablar de divergencias) y un cierto campo dinámico no tiene divergencias, entonces sus contrapartes arrastradas por Lie también no tienen divergencias. Esto solo es posible si las derivadas de Lie de la métrica a lo largo de los generadores del grupo de homogeneidades se desvanecen, es decir que el grupo de homogeneidades está contenido en el grupo de isometrías.
Para hablar de las transformaciones de Lorentz, necesitamos tener una noción de marcos inerciales. Una discusión clara de lo que hace que un marco sea inercial para el espacio-tiempo general nos llevará demasiado lejos en la relatividad general, por lo que lo tomaremos como dado. Todo lo que usaremos es que las coordenadas asociadas a los marcos inerciales son, en cierto sentido, equivalentes. Entonces, si [math] \ partial_x [/ math] en el marco original genera homogeneidades, nos gustaría que [math] \ partial_ {x ‘} [/ math] en el nuevo marco haga lo mismo. En otros mundos, exigimos que bajo la acción de la transformación de Lorentz (que es, después de todo, un tipo especial de transformación de coordenadas), los generadores del grupo de homogeneidades se transformen en (combinaciones lineales constantes de) generadores del grupo de homogeneidades.
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En realidad, este es un requisito más general (es decir, más débil) que exigir que las transformaciones de Lorentz sean afines (con lo que quiero decir lineal hasta un cambio del origen). En particular, cuando las homogeneidades son generadas por los campos vectoriales [math] \ partial_t, \ partial_x, \ partial_y, \ partial_z [/ math], la condición más general se reduce a la habitual de afinidad. La razón es que en tal caso, la condición general implica que la transformación jacobiana de Lorentz es una matriz constante (por supuesto, tenemos coordenadas definidas para trabajar, por lo que la constancia de la jacobiana es una noción significativa), lo cual es simplemente Otra forma de decir que la transformación de Lorentz es afín.
He eludido el problema de qué son los marcos inerciales, por lo que puede preguntarse si la homogeneidad obliga a las coordenadas inerciales [matemáticas] (t, x, y, z) [/ matemáticas] a ser tales que [matemáticas] \ partial_t, \ partial_x, \ partial_y, \ partial_z [/ math] son necesariamente generadores de homogeneidades. Resulta que esto no es cierto, porque si lo fuera, implicaría que los generadores de homogeneidades se conmutan. Y ciertamente es posible hacer arreglos para que los generadores no se conmuten. De hecho, aquí hay un artículo que explota este punto para construir familias enteras de soluciones de brana negra cargadas exactas que son homogéneas de una manera no trivial.
Al final del día, debemos reconocer que, en última instancia, es a la relatividad general a la que debemos confiarnos, y que para poder hablar de cosas como marcos de referencia inerciales y homogeneidades de manera significativa, tenemos que invocar el diferencial geométrico marco de GR. Ya sea que vea la afinidad de las transformaciones de Lorentz como resultado de la homogeneidad del espacio-tiempo o no, se debe a estipular cuál debería ser el dominio de relevancia de la relatividad especial. Es decir, es verdad cuando es verdad.