Relatividad especial: ¿Cómo implica la homogeneidad del espacio que la transformación de coordenadas sea lineal en la transformación de Lorentz?

En el sentido más estricto, esto no es realmente cierto e implica advertencias importantes. Pero antes de abordar lo que son, primero intentaré precisar a qué me refiero exactamente cuando digo que un espacio es homogéneo.

Cualquier espacio (con lo que quiero decir una variedad diferenciable) lleva la acción natural de su grupo de difeomorfismos de Lie. El grupo de difeomorfismos es de dimensión infinita, pero podemos destacar un subgrupo que tiene la misma dimensión que el espacio en consideración. Además, también exigimos que este grupo actúe de forma transitiva y libre. Una vez que tengamos dicho grupo, podemos imponer la condición de que cualquier restricción sobre un campo dinámico que surja debido a las leyes de la física también sea obedecida por cualquier campo obtenido por Lie arrastrando los campos a lo largo de los generadores del subgrupo elegido (en adelante denominado El grupo de las homogeneidades). En particular, esto significa que si el espacio viene equipado con una métrica (que se requiere para hablar de divergencias) y un cierto campo dinámico no tiene divergencias, entonces sus contrapartes arrastradas por Lie también no tienen divergencias. Esto solo es posible si las derivadas de Lie de la métrica a lo largo de los generadores del grupo de homogeneidades se desvanecen, es decir que el grupo de homogeneidades está contenido en el grupo de isometrías.

Para hablar de las transformaciones de Lorentz, necesitamos tener una noción de marcos inerciales. Una discusión clara de lo que hace que un marco sea inercial para el espacio-tiempo general nos llevará demasiado lejos en la relatividad general, por lo que lo tomaremos como dado. Todo lo que usaremos es que las coordenadas asociadas a los marcos inerciales son, en cierto sentido, equivalentes. Entonces, si [math] \ partial_x [/ math] en el marco original genera homogeneidades, nos gustaría que [math] \ partial_ {x ‘} [/ math] en el nuevo marco haga lo mismo. En otros mundos, exigimos que bajo la acción de la transformación de Lorentz (que es, después de todo, un tipo especial de transformación de coordenadas), los generadores del grupo de homogeneidades se transformen en (combinaciones lineales constantes de) generadores del grupo de homogeneidades.

En realidad, este es un requisito más general (es decir, más débil) que exigir que las transformaciones de Lorentz sean afines (con lo que quiero decir lineal hasta un cambio del origen). En particular, cuando las homogeneidades son generadas por los campos vectoriales [math] \ partial_t, \ partial_x, \ partial_y, \ partial_z [/ math], la condición más general se reduce a la habitual de afinidad. La razón es que en tal caso, la condición general implica que la transformación jacobiana de Lorentz es una matriz constante (por supuesto, tenemos coordenadas definidas para trabajar, por lo que la constancia de la jacobiana es una noción significativa), lo cual es simplemente Otra forma de decir que la transformación de Lorentz es afín.

He eludido el problema de qué son los marcos inerciales, por lo que puede preguntarse si la homogeneidad obliga a las coordenadas inerciales [matemáticas] (t, x, y, z) [/ matemáticas] a ser tales que [matemáticas] \ partial_t, \ partial_x, \ partial_y, \ partial_z [/ math] son ​​necesariamente generadores de homogeneidades. Resulta que esto no es cierto, porque si lo fuera, implicaría que los generadores de homogeneidades se conmutan. Y ciertamente es posible hacer arreglos para que los generadores no se conmuten. De hecho, aquí hay un artículo que explota este punto para construir familias enteras de soluciones de brana negra cargadas exactas que son homogéneas de una manera no trivial.

Al final del día, debemos reconocer que, en última instancia, es a la relatividad general a la que debemos confiarnos, y que para poder hablar de cosas como marcos de referencia inerciales y homogeneidades de manera significativa, tenemos que invocar el diferencial geométrico marco de GR. Ya sea que vea la afinidad de las transformaciones de Lorentz como resultado de la homogeneidad del espacio-tiempo o no, se debe a estipular cuál debería ser el dominio de relevancia de la relatividad especial. Es decir, es verdad cuando es verdad.

La homogeneidad del espacio-tiempo, y la consecuencia de que las transformaciones de Lorentz sean lineales, pueden entenderse en términos de un reloj en movimiento.

Considere un reloj ideal que se mueve libremente a través del espacio-tiempo. En ausencia de fuerzas, esperamos que el reloj no acelere en ningún marco inercial. En un cuadro S, describimos las coordenadas del reloj por [math] x ^ {\ mu} [/ math]. La velocidad constante significa que [matemáticas] \ frac {dx ^ i} {dt} [/ matemáticas] es una constante en este marco, donde “i” se refiere a los índices espaciales.

Ahora, entra en juego la suposición de homogeneidad del espacio-tiempo. Queremos que el reloj marque a una velocidad constante para marcar intervalos de tiempo iguales, y esta velocidad no debe depender de la posición o la hora en que miramos el reloj. Por ejemplo, si el reloj está en el origen en [matemática] t = 0 [/ matemática] y en [matemática] (1m, 0,0) [/ matemática] en [matemática] t = 1s [/ matemática], entonces la diferencia horaria que muestra el reloj debe ser la misma que cuando el reloj está en [matemáticas] (0,1m, 0) [/ matemáticas] en [matemáticas] t = 0 [/ matemáticas] y se mueve a [matemáticas] (0,2m, 0) [/ math] en [math] t = 1s [/ math]. Es independiente de nuestra elección de origen u orientación del sistema de coordenadas espaciales. En otras palabras, si [math] \ tau [/ math] es el tiempo que se muestra en el reloj en cualquier instante, usamos la homogeneidad del espacio-tiempo para afirmar que [math] \ frac {dt} {d \ tau} [/ math] Debería ser una constante. Combinando esta ecuación con lo anterior y usando la regla de la cadena, podemos ver que [math] \ frac {dx ^ {\ mu}} {d \ tau} [/ math] debe ser una constante en un marco particular, lo que implica
[matemáticas] \ frac {d ^ 2x ^ {\ mu}} {d \ tau ^ 2} = 0 [/ matemáticas]

Ahora ya casi hemos terminado. Considere otro marco [math] S ^ {‘} [/ math], con coordenadas dadas por [math] x ^ {‘ \ mu} [/ math]. Podemos relacionar las coordenadas de [matemáticas] S \ text {y} S ^ {‘} [/ matemáticas] por
[matemáticas] \ frac {dx ^ {‘\ mu}} {d \ tau} = \ frac {\ partial x ^ {‘ \ mu}} {\ partial x ^ {\ nu}} \ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} [/ math]
Por lo tanto,
[matemáticas] \ frac {d ^ 2 x ^ {‘\ mu}} {d \ tau ^ 2} = \ frac {\ partial x ^ {‘ \ mu}} {\ partial x ^ {\ nu}} \ frac {d ^ 2 x ^ {\ nu}} {d \ tau ^ 2} + \ frac {\ partial ^ 2 x ^ {‘\ mu}} {\ partial x ^ {\ nu} \ partial x ^ {\ rho }} \ frac {dx ^ {\ nu}} {d \ tau} \ frac {dx ^ {\ rho}} {d \ tau} [/ math]
[matemática] \ implica \ frac {\ parcial ^ 2 x ^ {‘\ mu}} {\ parcial x ^ {\ nu} \ parcial x ^ {\ rho}} = 0 [/ matemática]
(ya que esta ecuación debe mantenerse en cualquier dirección de movimiento del reloj).

Por lo tanto, hemos demostrado que las transformaciones de Lorentz deben ser necesariamente lineales, si requerimos homogeneidad del espacio-tiempo y queremos retener nuestra definición previa de marcos inerciales (sin aceleración sin una fuerza).

Nota: He usado la convención de suma de Einstein en todas partes, todos los índices repetidos se resumen.

1. Un aspecto de la homogeneidad es el dimensional, que es bastante fácil de eludir agregando unidades en constantes en la ecuación y uniendo unidades en ambos lados.

2. Otro aspecto es; No sé si se trata de homogeneidad; Las respuestas deben ser independientes de la elección del origen.

3. Las transformaciones de Lorentz sin términos x ^ 2 y t ^ 2 conducen a fórmulas como:
x = C1 (x ‘- f (t)) donde C1 es alguna constante dependiente de la velocidad yf (t) es función del tiempo. Ahora es fácil deducir de esta relación lineal que la longitud del objeto no dependerá de la elección del origen para medir x, ya que desplazar el origen es una transformación lineal xnew = xold – vector constante.
4. No estoy seguro de una posible transformación que tenga términos de mayor poder que mantengan el sistema invariable bajo la elección del origen.
5. Esto es para alguien a quien le encantan los detalles matemáticos, puede que lo sepas, pero generalmente estaba hojeando la Mecánica clásica de Goldsteins, y un punto al que no había prestado atención cuando era estudiante me sorprendió. En la mecánica clásica vivimos en un espacio euclidiano que, por definición, no necesita tener un origen. Donde como un espacio vectorial por pura definición matemática necesita un Vector 0 un pariente a un origen. Mientras resolvemos problemas, elegimos arbitrariamente un origen que obliga al espacio euclidiano a comportarse como un espacio vectorial.

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