¿Cómo / cuándo la mecánica cuántica se convierte en mecánica clásica?

Vea la respuesta de Matt Hodel a Física: ¿Existe una línea definitiva que defina cuándo entran en juego las leyes de la Mecánica Cuántica ?, copiadas a continuación por conveniencia.

Daré una respuesta mucho más simplista (¡y no siempre confiable!) Que las muchas excelentes ya publicadas, basadas en una técnica que fue enfatizada una y otra vez en mi clase cuántica introductoria.

Cuando te enfrentas a un problema complicado en física, a menudo es muy útil tener una idea heurística del sistema antes de intentar resolverlo exactamente. Hacer esto te ayuda a hacerte una idea de cómo debería ser la respuesta, y te ayudará a darte cuenta cuando cometiste un error si tus expresiones comienzan a no parecerse a lo que esperas heurísticamente.

Una estrategia universalmente útil para obtener una imagen tan heurística es usar el análisis dimensional. Esto es algo que todos los físicos hacen instintivamente mientras resuelven problemas. Verifique que las unidades de su respuesta sean las mismas que las unidades para la cantidad que se supone que debe calcular … si no coinciden, cometió un error. Sin embargo, hay otra forma de utilizar el análisis dimensional, incluso antes de que haya comenzado a tratar de resolver el problema exactamente.

Digamos que estás tratando de resolver las energías permitidas de una partícula en una caja. Si trata el problema de manera clásica, (obviamente) obtendrá una respuesta muy diferente de si trata el problema cuánticamente, como debería ser. Podemos reformular su pregunta inicial como ” ¿Cuáles son las escalas de energía en las que la solución cuántica y la solución clásica difieren cualitativamente en un grado significativo?” Aunque esta sigue siendo una pregunta relativamente imprecisa, servirá para nuestros propósitos.

Entonces esto es lo que haces. Te preguntas qué parámetros son relevantes para el sistema. Para un tratamiento clásico de la partícula en una caja, todo lo que realmente tenemos a nuestra disposición es la masa [matemática] m [/ matemática] y la longitud de la caja [matemática] l [/ matemática]. Luego le preguntamos cómo puede formar una energía a partir de estos parámetros. Desafortunadamente en este caso no tenemos suerte. Las energías tienen unidades de

[matemáticas] [E] = ML ^ 2 T ^ {- 2} [/ matemáticas]

(aquí los corchetes [] alrededor de [matemáticas] E [/ matemáticas] significan “las unidades de”).

Todo lo que tenemos es una masa y una longitud. No hay forma de que podamos obtener una cantidad con (tiempo) ^ – 2 en sus unidades a partir de estos parámetros. Esto significa que no hay una energía típica del sistema, lo que interpretamos que significa que la partícula puede tener energía en el tratamiento clásico del problema. De hecho, la solución real es simplemente que las energías posibles son [matemática] p ^ 2 / 2m [/ matemática] donde el impulso [matemática] p [/ matemática] puede tomar cualquier valor.

¿Qué tal el caso cuántico? Bueno, todavía tenemos la masa [matemática] m [/ matemática] y la longitud de la caja [matemática] l [/ matemática] como parámetros disponibles, pero ahora, dado que esto es mecánica cuántica, también tenemos la constante fundamental [matemática] \ hbar [/ math], llamado constante de la tabla reducida.

Las unidades de [math] \ hbar [/ math] son

[matemáticas] [\ hbar] = ML ^ 2 T ^ -1 [/ matemáticas].

Como puede verificar por sí mismo, podemos combinar estos tres parámetros: [matemática] \ hbar [/ matemática], [matemática] m [/ matemática] y [matemática] l [/ matemática] –para obtener una cantidad con las unidades de energía escribiendo

[matemáticas] E_0 = \ frac {\ hbar ^ 2} {ml ^ 2} [/ matemáticas]

donde [math] E_0 [/ math] se interpreta como una energía “típica” del problema. Podemos concluir sobre bases heurísticas que los efectos cuánticos del sistema solo son significativos a escalas de energía cercanas a [matemáticas] E_0 [/ matemáticas].

De hecho, la solución cuántica exacta del problema es que los niveles de energía cuantificados son

[matemáticas] E_n = \ frac {\ hbar ^ 2} {2m l ^ 2} n ^ 2, n = 0,1,2, \ puntos [/ matemáticas].

¡Nuestra estimación de la energía del estado fundamental basada en el análisis dimensional solo fue desactivada por un factor de 2! Eso es bastante bueno cuando todo lo que nos importa es tener una idea del orden de magnitud de la respuesta.

Observe una diferencia fundamental entre las soluciones clásicas y cuánticas al problema. Clásicamente, la partícula puede tener cualquier energía . Cuánticamente mecánicamente (o, como dice un profesor mío en broma, “cuánticamente”), ¡casi todas las energías no están permitidas! Solo se permiten energías muy especiales, de la forma descrita anteriormente, para que la partícula esté dentro. Puede parecer un milagro que la solución cuántica se reduzca a la solución clásica en escalas de energía que son grandes en comparación con [matemáticas] E_0 [/ matemáticas ] (debe hacerlo, de lo contrario, el mundo no funcionaría de la manera en que se nos utiliza a nivel macroscópico).

La respuesta es que, cuando observa grandes escalas de energía (por ejemplo, del orden de 10 ^ 60 * E0, que es la energía de una bola de 1 gramo que se mueve con 1 Joule de energía en una caja de 1 mm), el espacio entre los estados de energía son patéticamente pequeños en comparación con la escala de energía que estamos viendo.

De hecho, la diferencia entre la enésima energía permitida y la (n-1) enésima energía permitida es

[matemáticas] E_n – E_ {n-1} = \ frac {\ hbar ^ 2} {2m l ^ 2} (n ^ 2 – (n-1) ^ 2) [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ frac {\ hbar ^ 2} {2m l ^ 2} (2n-1) [/ matemáticas]

que va como [math] n [/ math], en oposición a la enésima energía permitida, que va como [math] n ^ 2 [/ math]. Entonces su relación va como

[matemáticas] \ frac {\ Delta E} {E_n} \ sim \ frac {1} {n} [/ matemáticas]

donde [matemáticas] \ Delta E = E_n – E_ {n-1} [/ matemáticas].

A medida que la escala de energía (y, por lo tanto, [matemática] n [/ matemática]) aumenta, esta separación relativa de los niveles de energía llega a cero, y recuperamos el resultado clásico de que no hay separación entre los niveles de energía permitidos, es decir, se permiten todas las energías .

EDITAR: Más de los comentarios … con respecto al ejemplo particular del átomo de hidrógeno (un electrón en un potencial de culombio).

Una forma de pensar es que el radio de Bohr,

[matemáticas] a_o = \ frac {\ hbar ^ 2} {me ^ 2} [/ matemáticas]

es la única “longitud” dimensionalmente correcta que puedes construir a partir de los parámetros de tu sistema: un electrón en el potencial de culombio creado por un protón. [1]

Tenga en cuenta que he asumido implícitamente que los únicos parámetros relevantes son [matemática] \ hbar [/ matemática], [matemática] m [/ matemática] y [matemática] e [/ matemática]. Esto es cierto siempre que la mecánica cuántica no relativista sea una buena descripción del sistema. Esta condición es válida para la mayoría de los átomos, pero si desea ver la “estructura fina” del espectro de energía, también debe incluir los efectos relativistas, y tiene otro parámetro a su disposición: [matemáticas] c [/ matemáticas], la velocidad de la luz. [2]

Esto presenta un problema. ¡Podemos construir una cantidad ** sin dimensiones ** con estos parámetros!

[matemáticas] \ alpha = \ frac {e ^ 2} {\ hbar c} \ sim 1/137 [/ matemáticas]

Esto es malo porque ahora podemos construir una cantidad infinita de cantidades que tienen las dimensiones de longitud fuera de los parámetros a nuestra disposición. ¡Sigue multiplicando la longitud [math] a_o [/ math] por la cantidad adimensional [math] \ alpha [/ math]! ¿Cuál de estos nos da la escala de longitud correcta?

Bueno, ya sabemos que [math] a_o [/ math] es la respuesta correcta. Sin embargo, tenga en cuenta que agregar factores adicionales de [math] \ alpha [/ math] solo disminuye la longitud en un factor de aproximadamente 1/137 cada vez. Resulta que las correcciones a la aproximación no relativista para la energía de este sistema (un átomo) pueden escribirse como una serie de poderes sucesivos de la constante de estructura fina [matemática] \ alfa [/ matemática]. Por lo tanto, cada escala de longitud define la escala en la que una corrección a los niveles de energía se vuelve relevante / “visible”.

[1] el nombre “radio de Bohr” se aplica al caso específico de hidrógeno, donde el número atómico es 1. Otros átomos tienen un número atómico más alto y, por lo tanto, tendrán una longitud característica diferente. Sin embargo, esta diferencia no se puede capturar solo mediante el análisis dimensional, ya que solo difiere en un número constante que no tiene dimensiones.

[2] de hecho, los efectos relativistas son esenciales para obtener la descripción cualitativa de algunos átomos correctos … en particular, sin tener en cuenta los efectos relativistas, esperaríamos que el mercurio sea un sólido.

Hay varias respuestas a esto dependiendo del sistema que esté intentando modelar y predecir.

Una buena medida en la química cuántica es cuando el teorema de Hellman Feynman se vuelve preciso

Teorema de Hellmann-Feynman

Según el teorema, una vez que la distribución espacial de los electrones ha sido determinada por [Mecánica Cuántica], [las fuerzas del] sistema pueden calcularse usando electrostática clásica.

Este es un goto útil para modelos como la electrostática de proteínas a gran escala que utiliza el método de Poisson-Boltzman

Un enfoque relacionado y más sofisticado en las simulaciones dinámicas cuánticas clásicas es el método Car-Parrinello. Aquí, los grados electrónicos de libertad se resuelven estáticamente al principio (es decir, usando una Teoría Funcional de Densidad aproximada (DFT), y luego como tratados como variables dinámicas ficticias en el Lagrangiano clásico. Aquí, tratamos los electrones semiclásicamente, aunque Son de mecánica cuántica.

Esto es útil para simular grandes sistemas químicos en el estado fundamental. Tratar una reacción química real es más complicado.

Trataré de pensar en otros ejemplos: son manifiestos

No lo hace. Nunca.

Cuando el número cuántico aumenta, y / o cuando la termodinámica hace mella, es posible describir los fenómenos suficientemente bien mediante una aproximación clásica.

Considere una metáfora que lo acerque lo suficiente. Un vaso de agua está hecho de moléculas. No hay ningún punto en el que deje de estar hecho de moléculas. Es solo que, en cierta escala, es posible tratarlo como un fluido e ignorar básicamente lo que están haciendo las moléculas individuales y hablar sobre la viscosidad, la tensión superficial, el número de Reynolds y todas esas otras características generales. Sin embargo, estos son resultados de la interacción de las moléculas individuales, que a su vez es el resultado del comportamiento cuántico, que usted adivinó, que se describe mediante la mecánica cuántica.

Otra metáfora Las cosas tienen temperatura, que a escalas microscópicas es solo una medida de la energía cinética de las moléculas que se mueven y rebotan. Cuando llegas al nivel molecular, hay cosas interesantes. Algunos van más rápido que otros. Puede usar algo como un tubo Ranque-Hilsch para separar las moléculas rápidas y lentas, de modo que obtenga una corriente caliente y una corriente fría, lo que muestra que todavía está hecho de moléculas. (Tenga en cuenta que esto no infringe la Segunda Ley de la Termodinámica, ya que todavía tiene que usar el trabajo disponible para hacer que el gas se mueva a través del tubo). Sin embargo, probablemente no le importe mucho si solo quiere tomar el temperatura total

El mundo siempre es cuántico, en todas partes, a todas las escalas. Es solo que, en algunas escalas, es posible ignorarlo. Incluso entonces, hay fenómenos macroscópicos que son claramente cuánticos. La luz va en línea recta. Ojos viendo. La forma en que funcionan los espejos. Por qué ves colores en una rejilla de difracción. Puedes fingir que las entiendes, pero solo introduciendo otras ideas que no entiendes, leyes generales que solo tienes que dar por sentado. Las leyes generales funcionan, pero tienen un nivel de descripción más amplio y son el resultado de agregados de comportamiento cuántico.

1. Sí, de hecho las leyes clásicas derivadas de la mecánica cuántica. También las leyes de la mecánica cuántica tendrían otras leyes clásicas. Mecánica clásica y cuántica, por lo que no solo es incidental, sino que la mecánica cuántica es la teoría general, de la cual la mecánica clásica puede derivarse en el límite (por ejemplo, a diferencia del Sr. Niels Bohr). Además, la estructura general de la materia, especialmente los átomos muy dominados por los efectos de la mecánica cuántica. Como el lanzamiento de una moneda no es un proceso fuertemente caótico, donde los efectos de la mecánica cuántica juegan un papel menor. Es diferente, por ejemplo, si coloca una tarjeta de juego normal en un espacio perfectamente aislado del suelo, por lo que es clásico perfectamente equilibrado. Debido a los efectos de la mecánica cuántica, esto todavía es útil después de unos 30 segundos (creo) molesto en una dirección impredecible.
2. La decoherencia describe el caso general, la dispersión, las superposiciones cuánticas de “disolución”, de modo que los “estados de gato” muy extraños a nivel macroscópico. Aquí no se puede especificar una distinción clara, pero siempre es la regla general que se observen los efectos de la mecánica cuántica en nombre del efecto cuando está en el orden de h (hay excepciones). Una vez que un objeto comienza a interactuar fuertemente con su entorno (macroscópico), hay efectos de decoherencia. Otros pueden denominarse “efectos de decoherencia”, en los que un objeto al interactuar con su entorno es coherente, por lo que, sin rodeos, pierde sus propiedades mecánicas cuánticas, creo que en Wikipedia hay una lista de efectos de decoherencia típicos. Con la decoherencia interpretada (!) Del formalismo mecánico cuántico explica, entonces, por qué el mundo clásico se comporta como lo hace (no explica solo, todavía es necesaria una interpretación, por ejemplo, a diferencia del buen Harald Lesch que representa). Esto también explicaba por qué los objetos macroscópicos no tienen efecto de túnel porque se basan estos efectos mecánicos cuánticos. La probabilidad de que el túnel de objetos macroscópicos sea ahora tan bajo que es insignificante, es decir, si desea esperar, por ejemplo, que una bola atraviese túneles en algún lugar, generalmente esperaría más tiempo que el universo. Sin embargo, tener solo escalera real en el póker toda una noche es probable que sea de varios órdenes de magnitud.

Un consejo más, si desea informarle sobre este tipo de cosas: salga de la biblioteca de su confianza en lugar de tener algunos libros populares de ciencia sobre estos temas. En Internet se empaqueta demasiada basura, incluso en fuentes supuestamente acreditadas; Los documentales suelen ser también muy imprecisos. Incluso los profesores y otros de los cuales esperarías que tuvieran una idea sobre el tema, a veces no sabes aquí qué está sucediendo. Por lo tanto, para distinguir entre el sentido de hecho y de opinión del sinsentido en tales casos, necesita una experiencia más profunda. Lo que escribo aquí son, por supuesto, solo los hechos que quieren que alguien precargue ideológicamente sí aquí. Para los libros, este puede ser el caso, pero ocurre más raramente en la regla. Uno de los pocos en mi opinión, incluso para principiantes con calificaciones de artículo más legible de Internet, sabría sobre esto, aunque está teñido ligeramente ideológicamente pero también admitió muchos malentendidos sobre (el autor también debe saber que H. Dieter Zeh es uno de los padres de los efectos de decoherencia).

La mecánica cuántica es realmente capaz de describir todas las leyes clásicas. Sería difícil utilizar las matemáticas en las prácticas, ya que los objetos están formados por billones de átomos. Pero no es el caso donde hay algún tipo de “muro” en el que la mecánica cuántica solo se aplica a un lado y clásica al otro.

Esta es una pregunta abierta, y hay físicos que afirman que si pudiéramos realizar el experimento de doble rendija con bolas de boliche, veríamos un patrón de interferencia similar al formado por fotones o electrones. Los objetos más grandes con los que se ha realizado el experimento de doble rendija son las bolas Bucky, que son 60 átomos de carbono dispuestos en una esfera. Formaron un patrón de interferencia.