Las leyes de conservación se derivan de las simetrías, según el teorema de Noether (http://en.wikipedia.org/wiki/Noe…). En el caso de la conservación del momento, la simetría asociada es la invariancia de la traducción : el hecho de que si hace algún experimento y luego recoge todo el aparato (incluido todo lo que interactúa con el experimento), muévalo un poco y repita el experimento. , entonces el resultado será el mismo.
Matemáticamente, esto se refleja en las ecuaciones de movimiento para cualquier sistema traslacionalmente invariante: al manipularlos, siempre se puede encontrar una cantidad no trivial que no cambia con el tiempo (se conserva). Como ejemplo, considere un par de partículas en las posiciones [matemáticas] x_1, x_2 [/ matemáticas] que interactúan con algún potencial [matemáticas] V (x_1, x_2) [/ matemáticas]. Las ecuaciones de movimiento son
[matemáticas]
m_i \ frac {d ^ 2 x_i} {dt ^ 2} = – \ frac {\ partial} {\ partial x_i} V (x_1, x_2)
[/matemáticas]
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para i = 1,2. Agregándolos, podemos escribir
[matemáticas]
\ frac {d} {dt} \ left (m_1 \ frac {dx_1} {dt} + m_2 \ frac {dx_2} {dt} \ right) = [/ math]
[matemáticas] – \ left (\ frac {\ partial} {\ partial x_1} + \ frac {\ partial} {\ partial x_2} \ right) V (x_1, x_2)
[/matemáticas]
En el lado derecho, el operador diferencial [math] \ frac {\ partial} {\ partial x_1} + \ frac {\ partial} {\ partial x_2} [/ math] mide el cambio en el potencial bajo cambios simultáneos de [matemáticas] x_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] x_2 [/ matemáticas] – en otras palabras, traducciones de todo el sistema. El lado derecho se desvanece precisamente cuando el potencial es invariante a la traducción, y en ese caso la ecuación anterior se convierte en la declaración de conservación del momento. Este procedimiento puede repetirse para cualquier sistema físico en gran generalidad: las ecuaciones son más complicadas, pero la lógica es la misma.
Cada ley de conservación que conocemos es consecuencia de cierta simetría . Aquí hay algunos ejemplos importantes:
- Momentum – simetría de traducción
- Energía – simetría de traducción de tiempo (el hecho de que los experimentos son los mismos si los haces ahora o más tarde). De acuerdo con la relatividad especial, el tiempo y el espacio pueden mezclarse, por lo que la conservación de la energía y la conservación del momento realmente van de la mano.
- Momento angular: simetría de rotación (el hecho de que los resultados de los experimentos no cambian si gira todo el aparato)
- Conservación de la carga: esta simetría es un poco más difícil de describir a menos que sepa algo sobre cómo describir los campos con carga matemáticamente. Esencialmente, las ecuaciones involucran cantidades [matemáticas] \ psi [/ matemáticas] que son invariables bajo los cambios de su fase [matemáticas] \ psi \ a e ^ {i \ alpha} \ psi [/ matemáticas], y esta invariancia implica la conservación de cargar.
Más avanzado: la conexión entre las simetrías y las leyes de conservación en realidad va en ambos sentidos: una simetría implica una ley de conservación, y la cantidad conservada asociada genera la simetría. El significado de “genera” es más claro en la mecánica cuántica (donde también hay una versión del teorema de Noether). Si se conserva una [matemática] Q [/ matemática] observable, eso significa que conmuta con la Hamiltoniana [matemática] [H, Q] = 0 [/ matemática]. En este caso, podemos definir una familia de operadores unitarios de un parámetro [math] U_ \ alpha \ equiv e ^ {i \ alpha Q} [/ math], y [math] U_ \ alpha [/ math] también conmutará con el hamiltoniano para todos [math] \ alpha \ in \ R [/ math]. Estos operadores representan una familia continua de transformaciones en estados físicos que no afectan la dinámica, en otras palabras, una simetría. En el caso de la cantidad de movimiento, si queremos traducir un estado mecánico-cuántico por alguna distancia [matemática] x [/ matemática], entonces debemos multiplicar por el operador unitario [matemática] e ^ {ixP} [/ matemática], donde [math] P [/ math] es el operador de impulso.
