Hay una idea más profunda involucrada aquí. La segunda ley de Newton en realidad puede derivarse de las Ecuaciones de Euler-Lagrange, que proviene del principio de menor acción de Hamilton. Definamos el lagrangiano de la siguiente manera:
[matemática] \ matemática {L} (q (t), \ dot {q} (t), t) \ equiv T – U [/ matemática]
donde T es la energía cinética, [matemáticas] T = \ frac {1} {2} m \ dot {q (t)} ^ 2 [/ matemáticas], y [matemáticas] U (q) [/ matemáticas] es el energía potencial. [matemáticas] q (t) [/ matemáticas] representa la posición, y [matemáticas] \ dot {q} (t) [/ matemáticas] representa la velocidad. La “acción” se puede calcular de la siguiente manera:
- ¿Es un nivel de agua más preciso que un nivel láser?
- Un bloque de 4 kg está en una mesa horizontal. ¿Qué es la 'Aceleración y tensión de la cuerda cuando se suelta?
- ¿Es posible encontrar un compuesto que destruya la radiación para que no mate a las personas?
- ¿Qué pasará si la gravedad se convierte en cero por un momento?
- ¿Cuál es la diferencia entre velocidad y velocidad?
[matemáticas] S [q (t)] \ equiv \ int_ {t_1} ^ {t_2} \ mathcal {L} (q (t), \ dot {q} (t), t) dt [/ math]
Esto, formalmente hablando, es funcional. Depende del camino que tome la integral. El principio de menor acción de Hamilton establece que la partícula tomará un camino, tal que [math] \ delta S = 0 [/ math]. Es decir, tomará un camino de tal manera que la acción sea estacionaria e inmutable en pequeñas fluctuaciones en el camino. Este proceso esencialmente implica tomar una derivada y establecerla igual a cero (dado que estamos tomando la derivada de un funcional). Ahorrando todas las matemáticas, si se cumple el principio de Hamilton, llegamos a las Ecuaciones de Euler-Lagrange, la ecuación fundamental en la mecánica lagrangiana.
[mates] \ frac {d} {dt} (\ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial \ dot {q}}) = \ frac {\ partial \ mathcal {L}} {\ partial q} [/matemáticas]
Sustituyendo nuestro lagrangiano, obtenemos
[matemáticas] \ frac {d} {dt} \ frac {\ partial} {\ partial \ dot {q}} (\ frac {1} {2} m \ dot {q} (t) ^ 2 – U (q )) = \ frac {\ partial} {\ partial q} (\ frac {1} {2} m \ dot {q} (t) ^ 2 – U (q)) [/ math]
[matemáticas] \ frac {d} {dt} (m \ dot {q}) = – U ‘(q) [/ matemáticas]
Reconociendo [matemáticas] F (q) = -U ‘(q) [/ matemáticas], llegamos a la Segunda Ley de Newton.
[matemáticas] m \ ddot {q} = F (q) [/ matemáticas]
Esencialmente, conceptualmente, la idea más profunda es que hay una cantidad especial llamada “acción” que se puede evaluar integrando esta cantidad especial llamada “lagrangiana” en un determinado camino en un tiempo dado. Aquí es donde se pone algo mecánico cuántico. El principio de Hamilton dice que la partícula posiblemente podría recorrer todos los caminos entre un punto inicial y uno final, sin embargo, el camino seguro que tomará tiene una “ acción” estacionaria . Esta ruta que tiene una acción estacionaria está a salvo de fluctuaciones si la ruta se desvía del primer orden. Este camino no es necesariamente una acción mínima. De hecho, la mayoría de las veces, este camino es un punto de partida. Lo único que importa es que la “acción” es estacionaria .
Usando el principio de Hamilton, que la “acción” debe ser estacionaria, la Segunda Ley de Newton cae como un requisito para la evolución del sistema en el tiempo.
