Primero, la velocidad es un vector tangente: tome la velocidad como una definición. Se define como la tasa de cambio de posición de una partícula. Si la posición de una partícula se describe como una curva [matemática] \ gamma: t \ a M [/ matemática], entonces la tasa de cambio de posición es el vector tangente sobre la curva, [matemática] \ gamma ‘[/ matemática ]
Ahora, creo que la mejor manera de definir el impulso es pasar de la imagen lagrangiana de la mecánica a la imagen hamiltoniana de la mecánica. En la imagen lagrangiana, sus ecuaciones de movimiento provienen de un espacio funcional en la configuración , que es el paquete tangente; es decir, el lagrangiano es funcional en [math] \ left \ {q ^ i, v ^ j \ right \} [/ math]. Para pasar a la imagen hamiltoniana, uno realiza una transformación Legendre para llegar al espacio de fase [matemática] \ left \ {q ^ i, p_j \ right \} [/ math]. Ahora, no tengo una explicación muy intuitiva de la transformación de Legendre multidimensional, pero es suficiente decir que el Hamiltoniano es una función escalar que resulta ser
[matemáticas]
H =
– L,
[/matemáticas]
y donde p se define a través de una derivada funcional apropiada de L con respecto a q,
[matemáticas]
p_i \ equiv \ frac {\ partial L} {\ partial v ^ i}
[/matemáticas]
(que es un abuso de notación terriblemente impreciso que a los físicos no les importa … ¡lo siento!).
- ¿Hay algún afecto o cambio en las características del objeto cuando hay una reflexión sobre él?
- ¿La cuarta dimensión (tiempo) tiene una dirección? ¿Qué es la flecha del tiempo?
- ¿Cómo se conserva la energía en las interacciones spin-spin, dado que las fuerzas magnéticas no pueden funcionar?
- ¿Qué son las fuerzas equilibradas? ¿Para qué sirven?
- ¿Cuáles son los bloques de construcción canónicos de los dispositivos Rube Goldberg?
Entonces vemos dos cosas aquí: primero, en la derivada funcional, la derivada con respecto a un vector produce un co-vector. Segundo, en la transformación de Legendre, debe haber un emparejamiento natural entre p y v (para producir un funcional escalar), y aún no hemos dicho nada sobre una métrica; entonces están en espacios vectoriales duales entre sí.
¡Espero que esto agregue un poco de intuición, si es que hay alguna!
Nota al pie: Los métodos geométricos de física matemática de Schutz tienen una excelente explicación geométrica de la estructura simpléctica del espacio de fases.
