Los paquetes de fibra son ampliamente utilizados en las teorías de calibre. Las fibras son varios grupos de mentiras.
El más simple es el paquete [matemático] U (1) [/ matemático] que describe el campo electromagnético. Una partícula cargada se describe como un campo complejo [matemático] \ Phi (x) [/ matemático] – una sección del haz de fibras – con un lagrangiano que es invariante bajo [matemático] U (1) [/ matemático]. Por ejemplo, el término en masa tendría la forma:
[matemáticas] m \ bar {\ Phi} \ Phi [/ matemáticas]
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que es invariante bajo [math] U (1) [/ math] transformaciones de calibre:
[matemáticas] \ Phi \ rightarrow e ^ {i \ phi} \ Phi [/ math].
El término cinético normalmente sería un producto de derivados, pero un derivado no es covariante bajo la transformación de calibre. Necesitamos un campo de compensación [matemática] A _ {\ mu} [/ matemática] que se transforme bajo la transformación de fase [matemática] U (1) [/ matemática] como:
[matemáticas] A _ {\ mu} \ rightarrow A _ {\ mu} – \ partial _ {\ mu} \ phi [/ math].
La derivada covariante es:
[matemáticas] \ nabla _ {\ mu} = \ parcial _ {\ mu} + i A _ {\ mu} [/ matemáticas]
[math] A _ {\ mu} [/ math] es la conexión en el haz de fibras [math] U (1) [/ math] y se identifica con el potencial electromagnético (de cuatro dimensiones).
El campo electromagnético en sí mismo se describe mediante el tensor de curvatura:
[matemáticas] F _ {\ mu \ nu} = \ partial _ {\ mu} A _ {\ nu} – \ partial _ {\ nu} A _ {\ mu} [/ math]
La contracción de dos de estos tensores es una invariante, y se usa como el término cinético para el campo electromagnético en el lagrangiano:
[matemáticas] L = F ^ {\ mu \ nu} F _ {\ mu \ nu} + \ bar {\ nabla} ^ {\ mu} \ bar {\ Phi} \ nabla _ {\ mu} \ Phi + m \ barra {\ Phi} \ Phi [/ matemáticas]
Este lagrangiano lleva a un conjunto de ecuaciones de Maxwell,
[matemáticas] \ parcial ^ {\ mu} F _ {\ mu \ nu} = j _ {\ nu} [/ matemáticas]
dónde
[matemáticas] j _ {\ nu} = i (\ partial _ {\ nu} \ bar {\ Phi}) \ Phi -i \ bar {\ Phi} \ partial _ {\ nu} \ Phi [/ math]
Es la corriente eléctrica.
El otro conjunto son las identidades de Bianchi para el paquete de fibras:
[matemáticas] \ epsilon ^ {\ mu \ nu \ rho \ sigma} \ partial _ {\ nu} F _ {\ rho \ sigma} = 0 [/ matemáticas]
Otras teorías de indicadores corresponden a otros grupos (no abelianos):
[matemáticas] SU (3) [/ matemáticas] – Cromodinámica – los gluones son los bosones medidores
[matemática] SU (2) \ veces U (1) [/ matemática] – electrodébil (rotura espontánea) – W y Z son los bosones medidores.
Esos dos juntos son la base del Modelo Estándar.
La gravedad se puede describir como el paquete de fibras de Poincare con campos vierbein como bosones medidores.
(Es posible que haya obtenido algunos coeficientes y signos incorrectos).
