En espacios con curvatura constante distinta de cero, la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro no es constante. Varía con el tamaño del círculo. Considere el espacio esférico 2D, para el cual utilizaremos la superficie de la Tierra como ejemplo. Deje que el polo norte sea el centro de nuestro círculo. Para un pequeño círculo alrededor del polo norte, la curvatura de la superficie de la Tierra es insignificante, por lo que medimos una circunferencia de aproximadamente 2 * pi * r. Si nuestro círculo es el Círculo Polar Ártico, nuestra circunferencia sería significativamente menor que 2 * pi * r, donde r es el radio medido a lo largo de la superficie curva de la tierra (desde el Círculo Polar Ártico hasta el polo norte), y no el espacio euclidiano radio (para el cual el centro del círculo sería profundo en el manto de la Tierra). A medida que nos alejamos del polo norte, la relación de circunferencia a diámetro disminuye hasta llegar al ecuador, en cuyo punto la relación es 2. Si vamos al sur del ecuador, los círculos comienzan a reducirse en circunferencia, mientras que el diámetro ( centro todavía en el polo norte) aumenta. A medida que nos acercamos al polo sur, la relación se aproxima a 0. En algún lugar del hemisferio sur habremos tenido una relación de 1.
No llamaría a esta relación “pi”, pero podemos definir una función pi_s (R, r), donde el subíndice ‘s’ significa esférico, R es el radio de la esfera (en este caso, la distancia desde el centro de la Tierra a su superficie), y r es el radio de un círculo esférico medido desde un punto en la superficie de la esfera, y que es equidistante de todos los puntos en el círculo, hasta un punto en el círculo.
El dominio de pi_s es de 0 a pi * r, y el rango es de 0 a pi.
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En el espacio hiperbólico, podemos tener pi_h con dominio 0 a infinito, y rango de pi a infinito.
