Podría decirse que el corolario más simple de comprender del teorema del índice es el teorema de Gauss-Bonnet , que es a lo que principalmente voy a restringir mi atención. A diferencia del teorema del índice, que está en un nivel de generalidad que las personas no tienen un manejo intuitivo por defecto, el teorema de Gauss-Bonnet trata sobre superficies, que puede dibujar e imaginar. Específicamente, se trata de cómo la curvatura de una superficie se relaciona con su topología .
El tipo particular de curvatura que nos importa en este momento se llama curvatura gaussiana . Este es un número que puede asignar a cualquier punto de una superficie, y lo más importante es si es positivo, cero o negativo. La curvatura positiva se ve así:
La curvatura cero puede verse plana, como un plano, pero también puede verse así:
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Y la curvatura negativa se ve así (un punto Saddle):
Es un poco complicado explicar exactamente cómo calcular la curvatura gaussiana. Hablando en términos generales, en cada punto, hay un montón de direcciones por las que puedes caminar comenzando desde ese punto, y en cada una de esas direcciones el camino que tomas es curvo. Hay dos direcciones especiales, una en la que su camino se curva de la manera más “positiva” posible y otra en la que su camino se curva de la manera más “negativa” posible. Por ejemplo, en la tercera superficie de arriba, hay una dirección especial correspondiente al eje x donde el camino se curva “hacia arriba” tanto como sea posible, y otra dirección especial correspondiente al eje y donde el camino se curva “hacia abajo” cuanto más se pueda.
Estos definen dos números, las curvaturas principales en un punto, y la curvatura gaussiana es el producto de ellos. En particular, es
- positivo si las curvaturas principales tienen el mismo signo, o hablando en términos generales si las dos direcciones especiales se curvan de la misma manera (como en una esfera, donde todo se curva “hacia adentro”),
- cero si una de las curvaturas principales es cero, o más o menos si en una de las direcciones especiales no hay curvatura (como en un cilindro, donde en la dirección cilíndrica nada se curva),
- negativo si las curvaturas principales tienen el signo opuesto, o más o menos si las dos direcciones especiales se curvan de manera diferente (como cerca del punto de silla, donde una dirección se curva “hacia arriba” y la otra dirección se curva “hacia abajo”).
Muy bien, eso fue curvatura. ¿Qué pasa con la topología? Por ahora, puede tomar esto como “agujeros”. Por ejemplo, aquí hay un toro, que tiene un agujero más que una esfera:
Tenga en cuenta que, a diferencia de la esfera anterior, la curvatura gaussiana es diferente en diferentes puntos de este toro: fuera del agujero es positivo, dentro del agujero es negativo y en el medio es cero. (¡Asegúrese de ver por qué esto es cierto! ¡La razón por la que le expliqué cómo calcular la curvatura gaussiana fue para que pudiera ver por qué esto es cierto!)
Por supuesto, también es posible deformar una esfera para que tenga diferentes tipos de curvatura en diferentes puntos, como este: 
Ahora la curvatura gaussiana es negativa en algunos puntos (¿dónde?). Sin embargo, en su mayoría sigue siendo positivo.
Una lección que podría extraer del ejemplo del toro es que la introducción de agujeros en una superficie lo obliga a tener una curvatura más negativa en general. Por ejemplo, aquí hay una superficie con dos agujeros, los cuales tienen mucha curvatura negativa dentro de ellos:
El teorema de Gauss-Bonnet confirma esta idea. Para hablar sobre la curvatura general de una superficie, podemos integrar la curvatura sobre la superficie. Cuando hagamos eso, obtendremos un número, y el teorema de Gauss-Bonnet nos dice que para una superficie cerrada (más o menos, una superficie que no se va al infinito y que no tiene un límite, como el esfera y el toro, pero a diferencia del cilindro y el punto de silla), la integral de la curvatura sobre la superficie está completamente determinada por el número de agujeros que tiene: de hecho, es exactamente
[matemáticas] 2 \ pi (2 – 2g) [/ matemáticas]
donde [math] g [/ math] es el número de agujeros (el Género (matemática) de la superficie) y [math] \ chi = 2 – 2g [/ math] es la característica de Euler . En particular,
- Cuando [math] g = 0 [/ math], de modo que la superficie es una esfera, la curvatura total es exactamente [math] 4 \ pi [/ math].
- Cuando [math] g = 1 [/ math], de modo que la superficie es un toro, la curvatura total es exactamente [math] 0 [/ math].
- Cuando [math] g \ ge 2 [/ math], de modo que la superficie es un toro con dos o más agujeros, la curvatura total es exactamente [math] 4 \ pi (1 – g) <0 [/ math].
- Las tres declaraciones anteriores se mantienen independientemente de cómo se deforma la superficie.
Entonces, el teorema de Gauss-Bonnet es, en particular, un tipo de ley de conservación: nos dice que la cantidad total de curvatura se conserva a medida que deformamos una superficie, y también nos dice cuál es esa cantidad total en términos de la topología de la superficie . En particular, cada hoyo adicional agrega [matemática] -4 \ pi [/ matemática] a la curvatura total.
Ya es valioso tratar de imaginar cómo funciona esto para las esferas. En primer lugar, el tamaño de la esfera no importa porque a medida que la haces más grande también la haces menos curva (¡piensa en lo grande y no curva que es la Tierra!). Segundo, sin embargo, si aprieta la esfera en algunos puntos para hacer que su curvatura sea más negativa, inevitablemente dobla la esfera en otros puntos para hacer que su curvatura sea más positiva.
El teorema de Gauss-Bonnet también implica que la curvatura negativa introducida por los agujeros adicionales es inevitable: una vez que una superficie cerrada tiene dos o más agujeros, su curvatura total debe ser negativa, por lo que su curvatura debe ser negativa en alguna parte. También es posible mostrar que, para una superficie cerrada incrustada en el espacio, su curvatura debe ser positiva en algún lugar (en términos generales, tome el punto más cercano a usted; el resto de la superficie no está tan cerca de usted, así que en ese punto ambos las direcciones especiales se curvan “lejos de ti”), por lo que, de hecho, una vez que una superficie cerrada incrustada en el espacio tiene uno o más agujeros, su curvatura debe ser negativa en alguna parte.
Finalmente, aquí hay un hecho divertido que está moralmente relacionado con el teorema de Gauss-Bonnet: suponga que está tratando de hacer un poliedro convexo cuyas caras se requieren para ser pentágonos o hexágonos regulares, como este:
Entonces resulta que debes usar exactamente 12 pentágonos: ni más ni menos. Puedes ver una prueba de esto en ¿Por qué hay 12 pentágonos y 20 hexágonos en una pelota de fútbol ?, pero moralmente puedes pensar en este resultado de la siguiente manera: ya que puedes colocar un avión con hexágonos, tres en un vértice, tres -hexagons-at-a-vertex tiene “curvatura cero” en algún sentido, pero tres pentágonos-en-un-vértice, como arriba, tiene “curvatura positiva” en algún sentido, y dado que un poliedro convexo es topológicamente una esfera, Gauss-Bonnet le dice que la cantidad total de curvatura es fija. (Three-heptagons-at-a-vertex y superior tiene “curvatura negativa”; en su lugar, puede usar este patrón para enlosar el plano hiperbólico).
Rompecabezas: a continuación hay dos formas en que una esfera se puede deformar en un toro. ¿Por qué no contradicen el teorema de Gauss-Bonnet?
Entonces, ¿qué pasa con el teorema del índice en sí? Entre otras cosas, el teorema del índice es una generalización de una generalización del teorema de Gauss-Bonnet (es decir, el teorema de Gauss-Bonnet generalizado), que le da una idea de cuán general es. Al igual que el teorema de Gauss-Bonnet, relaciona dos números, que tienen algo que ver con una variedad, que obviamente no son iguales, y que se definen de maneras bastante diferentes. Uno de ellos, el índice topológico , generaliza la curvatura total. El otro, el índice analítico , generaliza la característica de Euler. Debido a lo diferentes que son los dos índices, saber que son iguales puede ser increíblemente poderoso, aunque la mayoría de las aplicaciones del teorema del índice que conozco están más allá de mi poder de explicar a alguien sin al menos una sólida formación universitaria en Matemática pura.
Sin embargo, permítanme terminar enfatizando lo increíblemente general que es el teorema del índice: también es una generalización de una generalización del teorema de Riemann-Roch (es decir, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch), otro teorema fundamental sobre las superficies, pero esta vez en análisis complejo / geometría algebraica.
