¿Cómo calcula Metadynamics la fuerza media potencial (PMF) o el perfil de energía libre de una coordenada de reacción?

La metadinámica funciona arrojando arenas a un valle, en la oscuridad.

Una ilustración de “tirar arenas en la oscuridad” 🙂

En primer lugar, ¿cuál es la superficie de energía libre (FES), en comparación con la superficie de energía potencial menos oscura?

Un sistema con N átomos tiene coordenadas 3N ([math] \ textbf {q} [/ math]) en el espacio de configuración. A una temperatura constante, la función de partición de configuración canónica es:
[matemáticas] Z = \ int d \ textbf {q} \ rho (\ textbf {q}) [/ matemáticas],
con la densidad de cada estado
[matemáticas] \ rho (\ textbf {q}) = e ^ {- \ beta V (q)} [/ matemáticas]
¡Imagínese lo difícil que es analizar o visualizar el mapa de densidad en un espacio tridimensional! Para aliviar esta dificultad, se introdujeron las coordenadas de reacción (o a veces llamadas “variables colectivas”). Dada una coordenada de reacción [matemática] S_1 (\ textbf {q}) [/ matemática] que es una función de [matemática] \ textbf {q} [/ matemática], su distribución de densidad es:
[matemáticas] \ rho (S_1) = \ int d \ textbf {q} \ rho (\ textbf {q}) \ delta (S_1-S_1 (\ textbf {q})) [/ math].
Esto puede ser útil porque la mayoría de las dimensiones de [math] \ textbf {q} [/ math] no contribuyen a las transiciones que nos interesan, sino que forman una enorme cantidad de mínimos locales poco profundos. Al elegir tácticamente la función [matemática] S_1 (\ textbf {q}) [/ matemática], se pueden identificar los grados importantes de libertades. (Cómo elegir buenas coordenadas de reacción es otro tema muy difícil). Seleccionar las coordenadas de reacción es equivalente a obtener una descripción general del sistema.

FES para un grupo de 38 átomos (con dos coordenadas de reacción)

Habiendo definido una coordenada de reacción [matemática] S_1 (\ textbf {q}) [/ matemática], se puede introducir el concepto de energía libre:
[matemáticas] F (S_1) = – \ frac {1} {\ beta} ln (\ rho (S_1)) [/ matemáticas],
y la extensión a un conjunto de coordenadas de reacción de múltiples dimensiones es directa. En este momento nos centraremos en una dimensión.

Ahora, el problema se convierte en cómo muestrear el FES de la coordenada de reacción. Ya tenemos simplemente el problema tremendamente en este momento. El problema original es muestrear la superficie de energía potencial difusa 3N-dimentional, ahora solo necesitamos trabajar en una dimensión.

Entonces, supongamos que ahora comenzamos una simulación de dinámica molecular (MD) para muestrear el perfil de energía libre de [math] S_1 [/ math]. ¿Qué problema podemos encontrar aquí?

Aquí está el problema que SIEMPRE molesta a las personas de simulación atomística: el lapso de tiempo para las simulaciones MD es muy corto (~ ns), y el sistema no tiene suficiente tiempo para pasar por los estados de transición. El sistema puede quedar atrapado en un “valle”, y el FES no está suficientemente muestreado.

Esto es cuando Michele Parrinello y Alessandro Laio (y algunos otros) tuvieron una idea brillante: agregar un potencial sesgado ([matemáticas] B (S_1) [/ matemáticas]) para “empujar” el sistema fuera del valle .

Pero el FES es desconocido a priori , ¿cómo sabemos dónde están los valles? ¡El sistema está totalmente en la oscuridad!

Aquí viene la otra idea ingeniosa: sabemos que el sistema está en un valle, si el sistema tiende a permanecer allí.

Combina estos dos elementos clave, hemos llegado a la esencia de la Metadinámica. Para cada uno de los pocos pasos de MD, se agrega un repulsivo potencial de polarización gaussiano (B) de altura w y ancho σ a la superficie de energía potencial:
[matemática] V (\ textbf {q}) \ leftarrow V (\ textbf {q}) + B (S_1 (V (\ textbf {q})), t) [/ math].
Este sesgo gaussiano se centra en las posiciones en el espacio de variables colectivas que el sistema está visitando. El sesgo repulsivo actúa como “arena”, que llena los valles del FES. Las “arenas” se acumulan y alientan al sistema a atravesar las barreras y explorar los nuevos espacios.

Finalmente, al sumar todo el potencial de sesgo [matemática] B (S_1 (V (\ textbf {q})), t) [/ matemática] en cada paso, se puede obtener el valor NEGATIVO del FES. Esto es equivalente a medir qué tan profundo es el valle contando cuántas arenas fueron arrojadas.