¿Hay alguna manera de derivar la división hiperfina de 21 cm para el átomo de H utilizando la teoría de la perturbación?

Esta es una pregunta de tarea terriblemente descrita, pero es un problema común si decide hacer el cálculo de la manera más mortal posible (aunque si lo hace, obtendrá la respuesta correcta).

La degeneración del estado fundamental está dada por
[matemáticas] \ delta E = \ langle \ psi | H _ {\ text {int}} | \ psi \ rangle [/ math]
donde la interacción hamiltoniana viene dada por el término dipolar. Hay dos componentes para la interacción dipolo. Un término que es proporcional a
[matemáticas] H _ {\ text {int 1}} \ propto \ frac {1} {r ^ 3} (3 \ vec {S} _e \ cdot \ hat {r} \ vec {S} _p \ cdot \ hat { r} – \ vec {S} _e \ cdot \ vec {S_p}) [/ math]
el otro charrán que es proporcional a
[matemáticas] H _ {\ text {int 2}} \ propto \ vec {S} _e \ cdot \ vec {S} _p \ delta ^ 3 (r) [/ math]

Las funciones de onda para el estado fundamental son como
[matemáticas] \ psi (r) \ sim \ exp (- r / a_0) [/ matemáticas]
cuyos detalles no importan para determinar si la energía del estado fundamental es divergente o no (pista, no lo es).

Sustituyendo esto como
[matemáticas] \ delta E_1 \ sim \ int d ^ 3x \ frac {e ^ {- 2r / a_0}} {r ^ 3} (3 \ vec {S} _e \ cdot \ hat {r} \ vec {S} _p \ cdot \ hat {r} – \ vec {S} _e \ cdot \ vec {S} _p) [/ math]
esto parece logarítmicamente divergente en la integral radial porque el denominador va cúbicamente y la medida va cuadráticamente. Sin embargo, primero debemos hacer las integrales angulares. El primer término es complicado porque hay dependencias angulares. El truco es hacer esto de una vez por todas como tensor integral
[matemáticas] I_ {ij} = \ int d \ Omega_2 \ hat {r} _i \ hat {r} _j = \ frac {1} {3} \ delta_ {ij} [/ math]
donde la medida de integración está justo por encima de las medidas angulares y los índices se ejecutan sobre x, y, z. Sabes que tiene que ser proporcional a un tensor invariante de SO (3) y el único con 2 índices es el delta de Kronecker y el 1/3 es fácil de verificar haciendo la dirección i = j = z. Sustituyendo esto nuevamente, vemos que este término se desvanece trivialmente para todos los estados de onda s. Para cualquier estado con mayor momento angular orbital, las funciones de onda serán proporcionales a
[matemáticas] \ psi_ \ ell (r) \ propto r ^ \ ell [/ matemáticas]
y por lo tanto se comportará perfectamente bien en el origen.

Eso significa que el único término que contribuye es el segundo término, que es el término función delta, que se comporta perfectamente en el origen y da el efecto completo.