¿Dónde más? Bueno, ya que no sé para qué crees que se usa principalmente, pero fuera de mi cabeza
1. Electrostática
La ecuación de Laplace es una ecuación para un potencial electrostático en vacío, es decir
- ¿Qué es la separación de carga por rotación en la física de la materia condensada?
- Si un gravitón tiene impulso, ¿interactúa con otros gravitones?
- ¿Debería estudiar física teórica (alta energía / astronomía) o nanofísica (materia condensada, etc.)? ¿Cuál tiene un futuro más brillante?
- ¿Qué tan difícil es aprender la teoría de cuerdas?
- ¿De qué manera la descripción de la teoría de campo cuántico es superior a la ecuación relativista de Dirac?
[matemática] \ parcial_i ^ 2 V (x) = 0 [/ matemática]
2. Partícula cuántica libre
La ecuación de Laplace también proporciona una ecuación de Schrodinger estacionaria para una partícula cuántica libre, no relativista.
[matemática] \ parcial_i ^ 2 \ psi (x) = 0 [/ matemática]
3. Ecuación de calor
La ecuación de calor describe la evolución temporal y la distribución espacial de la temperatura y viene dada por
[matemáticas]
\ frac {\ partial T (\ mathbf x, t)} {\ partial t} = \ alpha \ partial_i ^ 2 T (\ mathbf x, t)
[/matemáticas]
donde [math] T (\ mathbf x, t) [/ math] es la temperatura local en el tiempo [math] t [/ math] y el punto espacial [math] \ mathbf x [/ math]. Dejaré caer los argumentos en lo que sigue. La ecuación anterior también describe la difusión para el coeficiente de difusión constante.
En cualquier caso, si considera una situación en equilibrio (es decir, sin dependencia del tiempo), la ecuación anterior se reduce a la ecuación de Laplace
4. Otros innumerables ejemplos en los que el conocimiento de la ecuación de Laplace es crucial. Se puede agregar la solución de la ecuación de Laplace a cualquier solución de la ecuación de Poisson y obtener otra solución. La inversión del laplaciano (es decir, la construcción del propagador de Laplace) es el ingrediente básico de la teoría del campo escalar sin masa (que describe, por ejemplo, fonones, piones y bosones sin masa en general), y la inversión del operador Helmholtz (un primo cercano de el propagador de Laplace) permite tratar la teoría del campo escalar masivo (que describe, por ejemplo, el campo de Higgs y los bosones masivos).
