Interpreto su pregunta como, “¿por qué topoi, y no alguna otra construcción?”
Algunos pensamientos negativos nos permiten definir (-2) -categorías como puntos (por lo tanto, en realidad solo hay una única categoría (-2)). Entonces, una (-1) -categoría es una categoría enriquecida sobre (-2) -categorías: hay un conjunto de puntos, y entre cada punto hay un solo isomorfismo. Hasta la equivalencia, lo único que importa es si hay un punto o no, porque hay una equivalencia entre los grupoides contraíbles. Entonces, hasta equivalencia, las categorías (-1) son los dos valores de verdad Verdadero y Falso. Además, todas las categorías (-2) (todas ellas) se organizan en un valor de verdad : el valor Verdadero, porque es un punto. Todos los valores de verdad se organizan en un conjunto : {T, F}. ¡Sin embargo, esto es más que un conjunto! Viene con los operadores lógicos AND y OR, que se pueden considerar en términos de producto y unión disjunta, respectivamente. Ahora, tenemos un conjunto prototípico (estructurado), ¿verdad? De hecho, cualquier categoría 0 es solo una categoría enriquecida sobre (-1) -categorías. ¡Estos son solo conjuntos! Los conjuntos se organizan en una categoría especial llamada topos, las categorías forman un 2-topos, ad infitum.
Ahora, los topoi surgen cuando queremos ver la categoría n opuesta de (n-1) -categorías. La categoría n de topoi es equivalente al opuesto al de las categorías (n-1), y la equivalencia se obtiene tomando la cohomotopía de una categoría (n-1) con respecto al prototipo (n-1) -topos de (n-2) -categorías !! Por lo tanto, si quiere decirlo de esta manera, los topoi son objetos duales para las categorías, por lo que la omnipresencia de las categorías (superiores) en matemáticas presta la omnipresencia de los topoi (superiores) en matemáticas.
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