Como otros han señalado, los elementos extremadamente pesados que están hechos por el hombre existen porque pueden, pero son tan inestables y costosos de producir que algunos todavía no se han utilizado para nada fuera de la investigación para comprender sus propiedades. Pero considera esto. Teóricamente, si seguimos presionando hacia elementos más pesados y pesados, llegaremos a una isla de estabilidad y eso podría conducir a elementos que nos brindan enormes saltos en el blindaje y tecnologías aún no cuestionadas. Una cosa podemos decir con certeza. Sin recorrer el camino hacia esa isla de estabilidad, nunca lo alcanzaremos. Pero si lo alcanzamos, y vale la pena con una gran recompensa, hará que cada paso en ese camino sea vital. 
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¿Todos los elementos de la tabla periódica tienen una aplicación en la sociedad / ciencia humana, o algunos de ellos existen simplemente porque la naturaleza lo permite?
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¿Cada elemento tiene un propósito ?: No, ninguno de los elementos tiene un ‘propósito’. El propósito es lo que los humanos obtienen en función de su perspectiva. El Universo en general no tiene un propósito definido que lo abarque todo.
¿Cada elemento tiene una aplicación ?: Dado el tiempo suficiente, los humanos descubrirán una aplicación para prácticamente cualquier cosa que exista. Dudo que haya algo que sea realmente ‘inútil’
Todavía no todos lo hacen, especialmente los elementos muy pesados de muy corta duración que mencionaste. Pero usas elementos producidos artificialmente todo el tiempo. Los tiene en sus detectores de humo (americio-251) y es posible que le hayan inyectado algunos para una prueba de diagnóstico en el hospital (technicium-99m).
No me sorprendería si encontraras algún uso para el resto, ya que los humanos son especies tan curiosas e inventivas.
No, no todos los elementos tienen ninguna aplicación conocida para nosotros. Algunos no existen en la Tierra en cantidades que se puedan medir. Algunos nunca se han investigado realmente, porque son difíciles de separar en altos grados de pureza: solo recientemente hemos encontrado un uso para algunos de los lantánidos como el niobio y el samario. Los elementos inestables realmente no se pueden usar para nada, aunque la energía que liberan en descomposición se puede usar en reactores atómicos o con fines médicos. Y bombas, por supuesto.
Su pregunta me hace reír porque me recuerda a todos esos programas de ciencia ficción de descubrir tecnología alienígena y afirmar que los materiales están hechos de elementos que nunca antes habíamos escuchado. Casi toda la materia en el universo es uno de los elementos y la mayoría de los que tratamos son los elementos que ocurren naturalmente
Ahora, si decían Material en lugar de elemento, sería realmente genial y la ciencia de los materiales está descubriendo algunas combinaciones bastante impresionantes de elementos y cómo estructurarlos (piense en Plásticos y cerámicas, fibra de carbono, nylon y Kevlar).
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